高中数学 1.2.1 任意角的三角函数导学案 苏教版必修4.doc

1.2.1任意角的三角函数学习目标重点难点1记住任意角的三角函数的定义，了解三角函数线2掌握三角函数值在各象限的符号3会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦与正切.重点：任意角的三角函数的定义及三角函数值在各象限的符号难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦与正切.1三角函数的定义如图：p(x，y)，opr，一般地，对任意角，我们规定：(1)比值叫做的正弦，记作sin ，即sin ；(2)比值叫做的余弦，记作cos ，即cos ；(3)比值(x0)叫做的正切，记作tan ，即tan .预习交流1三角函数值的大小与p点位置的选取有关系吗？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点p(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关2三角函数值在各象限的符号正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同此符号规律可用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆(只记函数值为正的情况，“一、二、三、四”指象限)预习交流2三角函数值在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数的定义可知，三角函数值在各象限的符号由角终边上任意一点p的坐标x，y的正负来确定3有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫做有向线段类似地，把规定了正方向的直线称为有向直线若有向线段ab在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段ab与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为ab.(2)三角函数线：如图，把有向线段mp，om，at分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线它们统称为三角函数线当角在不同象限时，其三角函数线见课本第13页图128.当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在预习交流3正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线方向由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线方向由原点指向垂足；正切线方向由切点指向切线与的终边(或反向延长线)的交点预习交流4(1)角终边上一点p(3，n)，且sin ，则n_；(2)若角的终边过点(sin 30，cos 30)，则sin _；(3)若0，则点(tan ，cos )位于第_象限提示：(1)4(2)(3)二一、利用定义求三角函数值已知角的终边上有一点p(，m)，且sin m，求cos 与tan 的值思路分析：此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解对于本题可由定义求出m的值，再求cos 与tan 的值解：由已知有，m，得m0，或m.(1)当m0时，cos 1，tan 0；(2)当m时，cos ，tan ；(3)当m时，cos ，tan .已知点p(5，a)是角的终边上一点，且tan ，求sin cos 的值解：x5，ya，tan ，a12，r13.则sin ，cos ，sin cos .已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义，求出三角函数值若点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解二、三角函数值的符号的应用判断下列各式的符号：(1)tan 120sin 269；(2)cos 4tan.思路分析：此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限，二是要熟记三角函数值在各象限的符号解：(1)120是第二象限角，tan 1200；269是第三象限角，sin 2690，tan 120sin 2690.(2)4，4弧度角是第三象限角，cos 40；6，是第一象限角，tan0，cos 4tan0.1若角的终边经过点p(2，1)，则sin tan 0；cos tan 0，sin cos 0；sin tan 0中成立的是_(填序号)答案：解析：p(2，1)是第三象限内的点，角为第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，不正确，正确2已知点p(tan ，cos )在第三象限，求角的终边所在的象限解：方法一：p(tan ，cos )在第三象限，tan 0且cos 0.由tan 0，知为第二或第四象限角，由cos 0，知为第二或第三象限角，的终边在第二象限方法二：由p为第三象限，知tan 0且cos 0.设角终边上一点的坐标为(x ，y)，则由三角函数定义知，tan 0，cos 0，x0且y0.故的终边在第二象限三角函数值“符号看象限”：根据符号规律，结合具体函数及角的所在象限进行判断，如第二象限角，其正弦值为正，而余弦与正切值为负由点所在象限求角所在象限时，关键是弄清已知点的坐标符号，以此判定点所在象限即知角的终边所在象限三、作三角函数线作出的正弦线、余弦线和正切线思路分析：利用三角函数线的作法即可完成解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示以x轴正半轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点p.作pmx轴，垂足为m，过单位圆与x轴正方向的交点a作x轴的垂线与op的反向延长线交于点t，则sinmp，cosom，tanat，即的正弦线为mp，余弦线为om，正切线为at.在单位圆中画出满足sin 的角的终边解：所给函数是正弦函数，故作直线y交单位圆于点p，q，连结op，oq，则射线op，oq即为角的终边作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此点作x轴的垂线，得垂足，从而可得正弦线与余弦线作正切线时，应从a(1,0)点引单位圆的切线，与角的终边(角为第一或第四象限角时)或终边的反向延长线(角为第二或第三象限角时)交于一点t，即可得到正切线at.三角函数线的主要作用是求函数定义域、值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等1已知在abc中，sin acos b0，则abc的形状是_答案：钝角三角形解析：在abc中，由sin acos b0，可知sin a0，cos b0，故b为钝角，即此三角形为钝角三角形2已知角的终边经过点p(5,12)，则sin _，cos _，tan _.答案：解析：由x5，y12，得r13.sin ，cos ，tan .3已知cos tan 0，那么是第_或第_象限角答案：三四解析：由cos tan 0，知sin 0，且的终边不在坐标轴上，由此知的终边在第三或第四象限4若600角的终边上有一点(4，a)，则a的值是_答案：4解析：在坐标系中把600角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a的值因为60036