高中数学 5.5 利用不等式求最大（小）值 5.5.2 利用柯西不等式求最大（小）值知识导航学案 苏教版选修45.doc

5.5.2 利用柯西不等式求最大(小)值自主整理1.柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当_时取“=”.2.柯西不等式一般形式:()2,当且仅当_时取“=”.高手笔记1.在n个实数a1,a2,an的和为定值s时,它们的平方和不小于,即()2= ,当且仅当a1=a2=an时平方和取最小值.2.利用柯西不等式求最值时,注意“=”成立的条件,并会构造定值,学会拼凑.名师解惑如何用柯西不等式求函数的最值?剖析:利用柯西不等式求函数的最值时,往往不能直接应用,而是需要对数学式子的形式进行改变,拼凑出与柯西不等式相似的结构才能应用.因而适当变形是我们应用柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用.讲练互动【例1】已知|x|1,|y|1,求的最大值.分析:本题中的数学式子为,而(1-y2)与y2和为1,(1-x2)与x2和为1,可用柯西不等式求得.解:()2x2+(1-x2)y2+(1-y2)=1,最大值为1.绿色通道 通过观察式子结构与柯西不等式相对照构造定值,弄清谁是a,b,c,d.若用x2与y2合并就不易求出.变式训练1.设a、b、c0且acos2+bsin2=c,求cos2+sin2的最大值.解:(cos2+sin2)2=coscos+bsinsin2(cos)2+(sin)2(cos2+sin2)=acos2+bsin2=c,cos2+sin2,最大值为.【例2】求y=的最大值.分析:本题中出现的都是根式,可由柯西不等式转为平方把根号去掉,但要注意构造定值.解:()2=()212+()2()2+()2=3(4x+3+2-4x)=15,ymax=.绿色通道 利用柯西不等式求函数的最值时要注意构造定值,特别是系数如何确定,需要仔细体会.变式训练2.求函数f(x)=的最大值.解:()2(12+12)(x-6+12-x)=12,f(x)的最大值为.【例3】已知a、br+,a+b=2,求的最小值.分析:观察不等式的结构,求函数的最小值,需出现(a2+b2)(c2+d2),而且还必须使ac+bd为定值,可以把看作“a2+b2”,那么“c2+d2”就可以为(2-a)+(2-b).解:a、br+,a+b=2,2-a0,2-b0且2-a+2-b=2.(2-a)+(2-b)()2=(a+b)2=4,2.的最小值为2.绿色通道 注意柯西不等式的方向问题,若求的最小值,这时需要看作一个因子,再找另一个因子,使构造为定值.变式训练3.设x+y=1,x0,y0,求x2+y2的最小值.解:(x2+y2)(12+12)(x+y)2=1,x2+y2.x2+y2的最小值为.【例4】已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值.分析:本题构造(x2+y2+z2)(22+32+42),用柯西不等式解答.解:(2x+3y+4z)2(x2+y2+z2)(22+32+42)且2x+3y+4z=10,x2+y2+z2.x2+y2+z2的最小值为.变式训练4.已知a、b、c、dr+,且a+b+c+d=7,求的最大值.解:()2(2a+1)+(2b+3)+(2