高中数学 2.3.1 平面向量基本定理互动课堂学案 苏教版必修4.doc

高中数学 2.3.1 平面向量基本定理互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使得，我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1,e2，a1e1+a2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.规律总结 由平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是惟一的.a1e1+a2e2叫做e1,e2的一个线性组合，由平面向量基本定理知，若e1,e2不共线，那么由e1,e2的所有线性组合构成的集合a1e1+a2e2,a1,a2r就是平面内的全体向量，所以我们把e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出a1,a2的计算方法，但它却和平行向量基本定理一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，从而使问题解决.2.平面向量基本定理的证明（选学）要证明这个定理要从两方面入手，首先要证明存在性，第二要证明惟一性.证明：在平面内任取一点o，作=e1,=e2,=a,由于e1与e2不平行，可以进行如下作图，过点a作的平行（或重合）直线，交直线于点m，过a点作的平行（或重合）直线，交直线于点n，于是依据平行向量基本定理，存在两个惟一的实数a1,a2分别有=a1e1,=a2e2所以=+=a1e1+a2e2.证明表示的惟一性：如果存在另一对实数x,y使=xe1+ye2,则a1e1+a2e2=xe1+ye2.即（x-a1）e1+(y-a2)e2=0.由于e1与e2不平行，如果x-a1,y-a2中有一个不等于0，不妨设y-a20,则e2=e1,由平行向量基本定理得，e1与e2平行，这与假设矛盾，因此x-a1=0,y-a2=0即x=a1,y=a2.综上,平面向量基本定理得证.3.直线l的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知a、b是直线l上任意两点，o是l外一点,如下图所示，则对直线l上任一点p，存在实数t,使关于基底，的分解式为(*)并且满足上式的点p一定在l上.（1）证明如下：设点p在直线l上，则由平行向量基本定理知，存在实数t,使=t=t(-)所以=+=+t-t=（1-t）+t设点p满足等式=（1-t）+t,则=t,即p在l上.（2）由上面的证明可知，对直线l上任意一点p，一定存在惟一的实数t满足向量等式（*）.反之，对每一个数值t,在直线l上都有惟一的一个点p与之对应；向量等式（*）叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.（3）在（*）式中，令t=，点m是的中点，则=（+）,这是线段中点的向量表达式.活学巧用【例1】如右图所示，四边形oadb是以向量=a,=b为邻边的平行四边形，又bm=bc，cn=cd，试用a,b表示、.解析：=-=a-b，=a-b，=+=b+a-b=a+b.又=a+b,得=a+b，=-=a-b.【例2】如右图所示，在abcd中，ah=hd，bf=mc=bc，且=a,=b,沿向量,分解向量.解析：“沿向量，分解向量”就是用向量，表示该向量.=-=b-b=b,=+=a+b.-=b-(a+b)=-a-b.=+=a+b.=a+b,-=b-(a+b)=-a+b.=a+b, =-a-b, =a+b,=-a+b.【例3】已知向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e1,问a能否表示成a=b+c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.解析：能.假设a=b+c,将a、b、c代a=b+c得-e1+3e2+2e3=(4-3)e1-(6-12)e2+(2+11)e3,即解得a=.【例4】平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知a（3，1），b（-1，3），若点c满足=+,其中、r且+=1,则点c的轨迹方程为（ ）a.3x+2y-11=0 b.(x-1)2+(y-2)2=5 c.2x-y=0 d.x+2y-5=0解析：设=(x,y),=(3,1),=(-1,3).=+,(x,y)=(3,1)+(-1,3).又+=1,x+2y-5=0.应选d.答案：d【例5】如右图所示，设一直线上三点a、b、p满足=(1),o是平面上任一点，则（ ）a.= b.=c.= d.=解析：由=得-=(-)，=(-1).答案：a【例6】o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足=+(),0，+)，则p点的轨迹一定过a的