高中数学 4.4 参数方程 4.4.4 参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线知识导航学案 苏教版选修44.docVIP

4.4.4 参数方程中曲线欣赏平摆线、圆的渐开线自主整理1.平摆线的参数方程为_（是参数）.答案:2.平摆线是由无数个呈_排列的拱组成，每个拱的高为_，拱的底为_，即在x轴上每隔_拱将重复一次.答案:周期性 2r 2r 2r3.圆的渐开线的参数方程为_（是参数，其中r为基圆的半径）.答案: 高手笔记1.平摆线的形成原理 设想自行车外胎上粘了一块口香糖，车轮在平地上向前沿直线滚动时，口香糖就在空中描绘出一条曲线，这条曲线就是平摆线，也称旋轮线（如图所示）. 原理：当一动圆沿一条线作纯滚动时，动圆上任意点的轨迹称为摆线引导动圆滚动的线称为导线当动圆沿直导线滚动时形成平摆线；当导线为圆，动圆在导圆上作外切滚动时形成外摆线，作内切滚动时形成内摆线2.圆的渐开线的形成原理 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘上，铅笔系在绳的外端，把绳拉直，然后绕圆盘逐渐展开，保持细绳始终与圆相切，笔所画出的曲线，即细绳端点的轨迹，叫做圆的渐开线，圆盘就叫渐开线的基圆（如图所示）.名师解惑1.我们知道圆、椭圆、直线的参数方程中，参数都具有相应的几何意义，根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便那么，圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数是否也具有一定的几何意义呢？剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时绳子上的定点p相对于圆心的张角.如下图，其中的aob即是角.显然点p由参数唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单. 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.2.我们知道，圆锥曲线可以用普通方程表示，也可以用参数方程表示，还可以用极坐标方程表示，那么对于渐开线的参数方程是否也可以化为普通方程表示？剖析：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义如圆的渐开线普通方程，可以根据其参数方程（为参数），消去参数可得到普通方程,但根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程3根据建立曲线的参数方程的过程，总结应用向量方法建立运动轨迹的参数方程的基本思路和步骤.剖析：（1）建立合适的坐标系；（2）取定某个角度（以弧度为单位）为参数；（3）用三角知识写出相关向量的坐标表达式；（4）用向量运算得到的坐标表达式，得到曲线的参数方程.讲练互动【例题1】给出圆的渐开线的参数方程（为参数）.根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，当参数取时,对应的曲线上的点的坐标是_.解析：本题考查对渐开线参数方程的理解根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程（为参数）进行对照可求r的值，然后把分别代入x和y，即得对应的点的坐标.所给的圆的渐开线的参数方程可化为所以基圆半径r3.然后把分别代入x和y，可得即所以当参数取时,对应的曲线上的点的坐标是（，3）.答案：3 （，3）绿色通道 解答此类题目，一定要记住圆的渐开线的参数方程的形式，并且要知道每个字母的意义.变式训练1.写出半径为的基圆的渐开线方程思路分析：直接利用圆的渐开线的参数方程公式解：方程为（是参数）.2已知圆的直径为2，其渐开线上两点a、b对应的参数分别是和，求a、b两点的距离思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的参数方程，再根据a、b对应的参数值代入参数方程可得对应的a、b两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得a、b之间的距离解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是（为参数），分别把和代入，可得a、b两点的坐标分别为a()，b(,1).那么，根据两点之间的距离公式可得a、b两点的距离为|ab|，即点a、b之间的距离为.【例题2】已知一个圆的摆线过点（1，0），请写出该摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式（为参数）,可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点（1，0）代入参数方程求出r的值，再把求出的r的值代入参数方程即可.解：圆的摆线的参数方程为（为参数），令r(1-cos)0，可得cos=1，解得=2k(kz).代入x=r(-sin),可得x=r(2k-sin2k).又因圆的摆线过点（1，0），所以r(2k-sin2k)1.解得r=（kz）.又根据实际情况可知r是圆的半径,故r0所以，应有k且kz，即kn+.故所求摆线的参数方程是（为参数，其中kn+）.黑色陷阱 本题易错点是误把点（1，0）中的1或0当成的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cos=1时，直接得出=0，从而导致答案不全面变式训练3已知一个圆的摆线过一定点（2，0），请写出当该圆的半径最大时，该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程思路分析：根据圆的摆线的参数方程（为参数）,只需把点（2，0）代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.解：令y0，可得r(1-cos)0，即得cos=1.