高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式自我小测 苏教版选修45.doc_第1页
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5.4.1 柯西不等式自我小测1函数y2的最大值是_2设a(1,0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为_3设a，b，cr，且abc1，则的最大值是_4已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是_5 n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是_6若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求最小值点7设a1a2anan1，求证：(a1an1)n2.8设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为_，此时b_.9设x，y，zr,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_10已知为锐角，a，br，求证：(ab)2.11已知函数f(x)(xa)2(xb)2(xc)2(a，b，cr)的最小值为m，若ab2c3，求m的最小值参考答案1解析：根据柯西不等式，知y12.当且仅当2.即x时等号成立24解析：a(1,0，2)，b(x，y，z)，abx2z.由柯西不等式，得1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2.当且仅当存在实数k，使bka时等号成立516(x2z)2.|x2z|4.4x2z4，即4ab4.ab的最大值为4.3解析：由柯西不等式得()2()2()2(121212)()2，()2313.当且仅当abc时等号成立的最大值为.41解析：(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111.当且仅当存在一个数k，使aikxi(i1,2，n)时等号成立a1x1a2x2anxn的最大值是1.5n2解析：设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)()2(111)2n2.当且仅当存在实数k，使得xik(i1,2，n)时等号成立6解：由柯西不等式，有(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.当且仅当2x3y时取等号由得于是4x29y2的最小值为，最小值点为(，)7证明：a1a2anan1，a1a20，a2a30，anan10，根据柯西不等式有：(a1a2a2a3anan1)2n2.原不等式成立818(4，2，4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|ab|a|b|.|ab|18.当且仅当存在实数k，使akb时，等号成立18ab18.ab的最小值为18.此时b2a(4，2，4)99解析：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9.考虑以下两组向量：u(2,2,1)，v(x1，y2，z3)，由柯西不等式，得(uv)2|v|2|u|2；即2(x1)2(y2)(z3)2(x1)2(y2)2(z3)2(222212)当且仅当x1，y4，z2时等号成立所以(x1)2(y2)2(z3)29.10证明：设m，n(cos，sin)则|ab|mn|m|n|，(ab)2.11解：因为f(x)(xa)2(xb)2(xc)23x22(abc)xa2b2c232a2b2c2.所以x时，f(x)取最小值a2b2c2，即ma2b2c2.因为ab2c3.由柯西不等式
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