高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用教学设计 苏教版必修4.doc

1.3.4三角函数的应用教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等三维目标1能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型2通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神3通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用推进新课用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据画散点图选择函数模型求解函数模型检验用函数模型解释实际问题这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数ysin(x)b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式其中求是利用半周期(146)，通过建立方程得解解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 .(2)从图中可以看出，从614时的图象是函数yasin(x)b的半个周期的图象，a(3010)10，b(3010)20.146，.将x6，y10代入上式，解得.综上，所求解析式为y10sin(x)20，x6,14点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.变式训练函数y|sinx|的一个单调增区间是()a(，) b(，)c(，) d(，2)答案：c例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90|.当地夏半年取正值，冬半年取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为，此时太阳直射纬度为，那么这三个量之间的关系是90|.当地夏半年取正值，冬半年取负值根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0htan.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况解：如图3，a、b、c分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度2326.依题意，两楼的间距应不小于mc.图3根据太阳高度角的定义，有c90|40(2326)|2634，所以mc2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解这道题的结论有一定的实际应用价值教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.变式训练 某市的纬度是北纬23，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？图4解：如图4，由例3知，北楼被南楼遮挡的高度为h15tan90(232326)15tan433414.26，由于每层楼高为3米，根据以上数据，所以他应选5层以上.课本本节练习1、2.1本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题1图5表示的是电流i与时间t的函数关系iasin(x)(0，|0，0，|0,0)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinxf(x)，求sinxcosx的值解：(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即sin(x)sin(x).f(x)sin(x)cosx.相邻两点p(x0,1)，q(x0，1)由题意，|pq|，解得1.f(x)cosx.(2)由sinxf(x)，得sinxcosx.两边平方，得sinxcosx.例3小明在直角坐标系中，用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为ysinx，xr，由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度，与原来1 cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm只能代表个单位长度了由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为ysinx，xr.同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的，原曲线周期就由2变为.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为ysin2x，xr.例4求方程lgxsinx实根的个数解：由方程式模型构建图象模型在同一坐标系内作出函数ylgx和ysinx的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法课本习题1.314.1让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用2三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意设角建立三角式进行三角变换解决实际问题在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题课本习题1.313.1本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念2现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新3学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上一、备选习题1图13是周期为2的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成()图13asin(1x) bsin(1x)csin(x1) dsin(1x)2函数yxsin|x|，x，的大致图象是图14中的()图143一束光线与玻璃成45角，穿过折射率为1.5，厚度为1 cm的一块玻璃，那么光线在玻璃内的行程是多少？(折射率，其中为入射角，为折射角)参考答案：1d2.c3如图15所示，45，图151.5，得sin，cos.而cos，ab1.134(cm)，即光线在玻璃中的行程为1.134 cm.二、驾驭着波峰的数学如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪会升起有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几个小时在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择不用说，波理论和波活动是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋，使海浪在水面上行动当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性.19世纪初，对海浪在数学上开展了很多研究在海上和受控制的实验室中所作的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹格特纳开始提出最早的波理论在他的观测中，他记录着波中水粒是如何做圆周运动的位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同，位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位圆的直径