高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理互动课堂 苏教版选修22.DOC

高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式. 演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：m-p(m是p) 三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合m的所有元素都具有性质p,s是m的子集,那么s中所有元素都具有性质p. 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论. 演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的.但错误的前提可能导致错误的结论. 在推理形式中,不论任何具体概念代入s、m与p,只要代入后的前提是正确的,那么代入后的结论也是正确的,这表明在演绎推理中,从正确前提出发,运用正确的推理形式,就必然得出正确的结论.2.就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.但数学结论、证明思路等的发现过程,主要靠合情推理.因此,我们不仅应当学会证明,也应当学会猜想. “三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题. 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论. 继原本之后,公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域,例如牛顿以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系.案例 指出下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则？ 如图，因为四边形abcd是平行四边形. 所以ab=cd，bc=ad. 又因为abc和cda的三边对应相等. 所以abccda.【探究】这个证明过程包含着两个三段论推理.在第一个推理中，暗含着一个一般性原理“平行四边形的对边相等”，这个已被证明了的一般定理是大前提，“四边形abcd是平等四边形”是小前提，把一般性原理用于前面的具体情况，于是得到结论“ab=cd，bc=ad”，在第二个推理中，大前提是已被证明了的一般定理“有三边对应相等的两个三角形全等”，小前提是ab=cd，bc=ad，ac=ca，结论是abccda.【规律总结】数学中的演绎法一般是以三段论式的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中两个为前提，另一个是结论，第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义.如上例中的两个大前提分别是“平行四边形的对边相等”和“有三边对应相等的两个三角形全等”；第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，通常是已知条件或前面推理的第三个判断.如上例中的两个小前提分别是“四边形abcd是平等四边形”(已知条件)和“abc和cda的三边对应相等”(前面推理的第三个判断)；第三个判断叫做结论，是联合前两个判断，根据它们的联系作出的新判断，如上例中的两个结论分别是“ab=cd，bc=ad”和“abdcda”. 在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论式才能完成，大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.活学巧用1.指出下面三段论的大前提、小前提和结论.相同边数的正多边形都是相似的；这两个正多边形的边数相同；所以这两个正多边形也是相似的.解析：是“大前提”,是“小前提”,是“结论”.点评：在三段论中，“大前提”提供了一般的原理原则，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”联合大前提与小前提，说明一般原则和特殊情况间的联系.我们早已能够自发地使用三段论法来进行推理,学了三段论法后我们要主动地理解和掌握这一推理方法.2.指出下面推理中的错误.(1)自然数是整数 大前提-6是整数小 前提所以-6是自然数 结论(2)中国的大学分布于中国各地 大前提北京大学是中国的大学 小前提所以北京大学分布于中国各地 结论解析：(1)大、小前提中的“自然数”(p)与“-6”(s)都分别与“整数”(m)的一部分存在联系，这样“整数”(m)就不能起到联结“自然数”(p)与“-6”(s)的作用，因此不能使“自然数”(p)与“-6”(s)发生必然的确定关系.(2)这个推理的错误原因是“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学.3.梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在梯形abcd中(如图)，ab=dc=ad，ac和bd是它的对角线.求证：ac平分bcd，db平分cba.证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提)，dac是等腰三角形，da、dc是两腰(小前提)，1=2(结论).(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),1和3是平行线ad、bc被ac截出的内错角(小前提),1=3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),2和3都等于1(小前提),2=3(结论),即ac平分bcd.(4)同理,db平分cba.4.用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提. 如图所示，在锐角三角形abc中，adbc，beac，d、e是垂足.求证：ab的中点m到d、e的距离相等.证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提 在abd中，adbc，即adb=90， 小前提 所以abd是直角三角形. 结论 同理，aeb也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 而m是rtabd斜边ab的中点，dm是斜边上的中线，小前提 所以dm=. 结论 同理，em=.所以，dm=em.5.已知函数f(x)=m()的图象与函数h(x)=()的图象关于点a(0,1)对称.(1)求m的值.(2)若g(x)=f(x)+在区间(0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解析：(1)设p(x,y)为函数h(x)图象上一点，点p关于a的对称点q(x,y)则有x=-x且y=2-y 点q(x,y)在f