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文档简介
利用椭圆的参数方程证明定值问题在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出定值是多少,然后再进行一般性证明或计算,即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明该式是恒定的.今天我们研究利用椭圆的参数方程来证明椭圆中相关的定值问题.已知椭圆的标准方程,则可以将椭圆的方程改写成参数方程,利用坐标在椭圆上,通过参数简明地表示曲线上任一点坐标,将相关的几何量(斜率、距离)转化为三角形式,证明几何量与参数无关.例:已知p,q是椭圆上不同的两点,o是坐标原点,若的斜率之积为,求证为定值. 注意椭圆的参数方程:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况:焦点在轴上的椭圆:,.焦点在轴上的椭圆:,.以上的.例:过原点作直线交椭圆于m,n两点,设p为椭圆上任一点,若直线pm,pn的斜率存在,证明直线pm,pn的斜率之积为定值(e为椭圆的离心率).总结:1.利用椭圆的参数方程,写出椭圆上点的坐标,如果是椭圆的一部分,要注意参数方程中参数的范围. 2.将相关的几何量(斜率、距离)转化为三角形式,通过三角公式化简,证明几何量与参数无关,从而得出定值.练习题:1.在椭圆上取一点p,p与长轴两端点 a,b的连线分别交短轴所在直线于m,n两点.设o为坐标原点,求证为定值. 2.在椭圆上取一点p,p与短轴两端点 a,b的连线分别交长轴所在直线于m,n两点.设o为坐标原点,求证为定值. 3.椭圆c:, m,n两点是椭圆长轴的两个端点,p是曲线c上异于m,n的一点,求证为定值.练习题解析:1.在椭圆上取一点p,p与长轴两端点 a,b的连线分别交短轴所在直线于m,n两点.设o为坐标原点,求证为定值. 同理 n点坐标为,所以为定值2.在椭圆上取一点p,p与短轴两端点 a,b的连线分别交长轴所在直线于m,n两点.设o为坐标原点,求证为定值. ,所以为定值.3.椭圆c:, m,n两点是椭圆
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