高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型（1）教案 苏教版必修3.doc

3.3几何概型 1整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用excel软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到p(豆子落入圆内)=.（3）启发引导学生探究圆周率的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件t表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件t发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件a表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件a发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段ab上的点一一对应.若把离绳ab首尾两端1的点记作m、n，则显然事件t所对应的基本事件所对应的点在线段mn上.由于在古典概型中事件t的概率为t包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（t包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段mn的长除以线段ab的长表示事件t的概率似乎也是合理的.线段ab长5，线段am、bn长为1，则线段mn长为3解：p（t）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域d中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件a，则事件a发生的概率p(a)=.这里要求d的测度不为0，其中“测度”的意义依d确定，当d分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件a所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件a的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：p（a）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域d中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件a，就可与几何区域d中的子区域d表示了，如下图：试验：从d中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d；事件未发生：所取的点不属于d.这样事件a的概率如何计算呢？在设计思路一中，p(a)=子区域d的长度/区域d的长度=3/5.在设计思路二中，p(a)=子区域d的面积/区域d的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）一般地，在几何区域d中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件a，则事件a发生的概率p(a)= .这里要求d的测度不为0，其中“测度”的意义依d确定，当d分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件a的概率用子区域d的大小与几何区域d大小的比值来表示是合理的.当子区域d和几何区域d是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d和几何区域d是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d和几何区域d是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则p(a)=子区域d的测度/区域d的测度.由于几何区域d是几何区域d的子集，于是我们有0d的测度d的测度，在不等式两侧同时除以d的测度（一般假定其为正数）则有，即0p1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(a)0时，d的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(a)=1时，d的测度必须等于d的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件a发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向b区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有66=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向b区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d，所有的1升水看成区域d，记事件a为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则p(a)=0.1.答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例3 将正方形abcd等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形abcd内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解. 解： (1)记事件a为“点落在红色区域”，假设正方形abcd的面积为9个单位，则p(a)=.(2)记事件b为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形abcd的面积为9个单位，则p(b)=.(3)记事件c为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形abcd的面积为9个单位，则p(c)=.点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x）小时，乙到的时间为（9y）小时，则0x1,0y1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即小时，所以在|xy|时，两人才能会面.由于|xy|是两条平行直线xy=,yx=之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1)(1)=()2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1()2=，因此所求的概率为.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件a，则p(a)=.点评：本题中“测度”为长度.例2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域a、b、c的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域a或b的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域c的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析： 由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域a、b、c”为事件a、b、c，设正三角形的面积为s，则三个小三角形的面积（也就是区域a、b、c的面积）都是正三角形面积的，即每个小三角形的面积都是，所以，p(a)=p(b)=p(c)=.在靶子2中分别记“飞镖投到区域a、b、c”为事件a1、b1、c1，设圆的面积为s1，则区域a的面积为，区域b、c的面积为，因此，p(a1)=，p(b1)=p(c1)= .(2)记事件d为“在靶子1中，分别投中区域a或b”，所以，p(d)=.(3)记事件e为“在靶子2中，飞镖没有投中区域c”，则有p(e)=.点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例3 如图，正方形abcd内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率. 分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为r，正方形abcd的边长为x，由平面几何知识可知：x2=(r)(r+)，得x2=r2.记该点“落入正方形内”为事件a，则p(a)=0.51.点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积.例4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件a“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件a恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得p(a)= ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为.点评：在本题中，到站等车的时刻x是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解. 知能训练1.在500 ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）a.0.5b.0.4c.0.004d.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答：1.c（提示：由于取水样的随机性，所求事件a：“在取出2 ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件a，为了确定硬币的位置，由硬币中心o向靠得最近的平行线引垂线om，垂足为m，如图所示，这样线段om长度（记作om）的取值范围就是o,a，只有当roma时硬币不与平行线相碰，所以所求事件a的概率就是p（a）=.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：p（获得购物券）=；p（获得100元购物券）=；p（获得50元购物券）=；p（获得20元购物券）=.4. 设x和y为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里0x60，0y60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式x-y15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y14，即给出|x-y|14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中x-y15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和r的区域如图所示.因此p(r)=.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生