高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定教材梳理素材 新人教A版必修2.doc

2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定疱丁巧解牛知识巧学一、线面垂直1.定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l. 简言之：线面垂直,则线线垂直.2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简言之：线线垂直，则线面垂直.但要注意需有两条相交. 判定线面垂直的方法主要有三种:定义;判定定理;与平行关系联合运用,即若ab,且a,则b.转化思想是解决立体几何问题最常用的数学思想,本节充分体现了线面关系与线线关系的相互转化,应掌握其转化的条件.二、点到平面的距离 从平面外一点向平面所引垂线段的长叫做点到平面的距离. 求点到面的距离的方法有:在几何体中构造垂直利用垂直关系解;利用线面平行;利用面面平行.三、二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角一般表示为-ab-或p-ab-q的形式(p、q分别在、内且不在棱上).2.二面角的平面角：在二面角-l-的棱l上任取一点o，以o为垂足在半平面、内分别作垂直于棱l的射线oa、ob，则射线oa和ob构成的aob叫做二面角的平面角.二面角的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.方法点拨 (1)平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面;(2)用二面角的平面角将空间图形转化为平面图形，在某个三角形中可以求解;(3)平面角的大小与棱上所取点的位置无关;(4)二面角的取值范围是0，180.四、平面与平面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：l，l. 判断两个平面垂直的方法:(1)定义法:作出二面角的平面角,计算其为90;(2)定理:平面内的一条直线垂直于另外一个平面. 简言之:线面垂直,则面面垂直.问题探究问题1 在平面内，垂直于同一直线的两条直线的关系怎样？在空间呢？探究:在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，理由是同位角相等.而在空间，包含着平面内的这种情况，即平行，观察长方体的在互相垂直的棱与棱之间的关系，可知还有相交，也有既不相交也不平行的情形.问题2 门轴ab与地面垂直，经过门轴ab的门面无论转动到什么位置，门面与地面的位置关系怎样？为什么？探究:垂直的.因为门轴ab与地面垂直，则根据平面与平面垂直判定定理知经过门轴ab的所有平面都与地面垂直，所以门面与地面垂直.典题热题例1 如图2-3-1，ab是圆o的直径，pa垂直于圆o所在平面，m是圆周上任意一点，anpm，垂足为n.求证：an平面pbm.图2-3-1思路解析：要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直.已知anpm，只需再证an和平面pbm内的另一条直线，如bm或pb垂直即可.再结合已知中线面垂直，可找线线垂直. 证明：设圆o所在平面为，则已知pa，且bm，pabm.又ab为o的直径，点m为圆周上一点，ambm.由于直线paam=a，bm平面pam. 而an平面pam，bman. 这样，an与pm、bm两条相交直线垂直. 故an平面pbm.深化升华 直线垂直于平面，则必垂直于平面内的任意一条直线.要证直线垂直于平面，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线.例2 如图2-3-2，在正方体abcda1b1c1d1中，m为棱cc1的中点，ac交bd于点o，求证：a1o平面mbd.图2-3-2思路解析：本题关键是构造三角形,证明a1oom. 证明：连结mo.dba1a，dbac，a1aac=a，db平面a1acc1. 而a1o平面a1acc1，a1odb.tanaa1o=，tanmoc=，aa1o=moc. 则a1oa+moc=90.a1oom.omdb=o，a1o平面mbd.方法归纳 在证明a1o与平面mbd中两条相交直线垂直时，先证得线面垂直，由定义得线线垂直;另一垂直由证两线成90角完成，有时可用勾股定理的逆定理.例3 设棱锥mabcd的底面是正方形，且ma=md，maab，如果amd的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.思路解析：本题需要先证明线线垂直，得到球的半径的表达式，然后再解.解：如图2-3-3,abad，abma，图2-3-3ab平面mad. 因此，面mad面ac. 记e是ad的中点， 从而mead.me平面ac，meef. 设球o是与平面mad、平面ac、平面mbc都相切的球. 不妨设o平面mef，于是o是mef的内心. 设球o的半径为r，则r=. 设ad=ef=a，samd=1,me=,mf=.r=, 当且仅当a=，即a=时，等号成立.当ad=me=时，满足条件的球的最大半径为.深化升华 先利用线面垂直关系证明线线、线面垂直，再利用多面体和球体的体积公式求解.例4 已知由点o出发的三条射线oa、ob、oc不共面，且aob=aoc，求证：二面角aobc与二面角aocb相等.思路解析：关键在于作出两个二面角的平面角.如何在棱ob、oc上取点?由于aob=aoc，因此需找有共性的点才可以.考虑到ob、oc确定一个平面，oa在这个平面外，在oa上任取一点p，过p向平面boc作垂线，利用线面垂直则线线垂直的道理作辅助线.解：如图2-3-4，在oa上任取一点p，过p作ph平面boc，垂足为h，在平面boc内过h作hmob，hnoc，垂足为m、n，连结pm、pn.图2-3-4ph平面boc，ob平面boc，phob. 又hmob，phhm=h，ob平面phm.pm平面phm，obpm.pmh为二面角a-ob-c的平面角. 同理,可证ocpn，pnh为二面角a-oc-b的平面角. 因此,在rtpom和rtpon中，pom=pon，po为公共斜边，rtpomrtpon.pm=pn. 在rtphm和rtphn中，pm=pn，ph为公共边，rtphmrtphn.pmh=pnh. 故二面角a-ob-c与二面角a-oc-b大小相等.方法归纳 求二面角需要的步骤：一作(图)，二证(角是二面角的平面角)，三计算(在三角形中求解).例5如图2-3-5，abc为正三角形，ec平面abc，bdce，且ce=ca=2bd，m是ea的中点.求证：(1)de=da；(2)平面bdm平面eca；(3)平面dea平面eca.图2-3-5思路解析：(1)要证de=da，只需证明rtdfertdba；(2)注意m为ea的中点，可取ca的中点n，先证明n点在平面bdm内，再证明平面bdmn经过平面eca的一条垂线即可；(3)仍需证平面dea经过平面eca的一条垂线. 证明:(1)如图2-3-6，取ec的中点f，连结df.图2-3-6ecbc，dfbc，dfec. 在rtefd和rtdba中，ef=bd，fd=bc=ab，rtefdrtdba.故ed=da.(2)取ca的中点n，连结mn、bn， 则mn.mnbd.n点在平面bdm内.ec平面abc，ecbn. 又cabn，bn平面eca.bn在平面mnbd内，平面mnbd平面eca,即平面bdm平面eca.(3)bd，mn，mnbd为平行四边形.dmbn.又bn平面eca，dm平面eca.又dm平面dea，平面dea平面eca.深化升华 本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明bn平面eca是关键.例6 求证:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面. 已知:，=l， 求证:l.思路解析一：根据直线和平面垂直的判定定理，可在内构造两相交直线分别与平面、垂直. 证法一:如图2-3-7，设=a，=b，在内任取一点p,过点p在内作直线ma，nb.图2-3-7，m，n. 又=l，lm，ln.l.思路解析二：由面面垂直的性质易在、内作出平面的垂线，再设法证明l与其平行即可. 证法二:如图2-3-8，设=a，=b，图