高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明自主练习 苏教版选修22.DOC

高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明自主练习 苏教版选修2-2我夯基 我达标1.设a、b是异面直线，在a上任取两点a1、a2，在b上任取两点b1、b2，试证：a1b1与a2b2也是异面直线.思路解析：证明异面直线常用反证法.证明：假设a1b1与a2b2不是异面直线,则a1b1与a2b2确定一个平面.a1、b1、a2、b2.a1a2,b1b2,即a,b.a、b共面于,与a、b是异面直线矛盾.假设不成立.a1b1与a2b2也是一异面直线.2.设a、b、c都是正数，则三个数( )a.都大于2 b.至少有一个大于2c.至少有一个不小于2 d.至少有一个不大于2思路解析：2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取“=”.答案:c3.求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.思路分析：“至少”问题可用反证法，根据三角形的内角之和为180解答.证明：假设abc的三个内角a、b、c都小于60,即a60，b60,c60,相加得a+b+c180.这与三角形内角和定理矛盾，a、b、c都小于60的假定不能成立.一个三角形中，至少有一个内角不小于60.4.如图2-2-3所示，在abc中，abac，ad为bc边上的高线，am是bc边上的中线，求证：点m不在线段cd上.图2-2-3思路分析：点m不在线段cd上不易证出，可假设m在线段cd上，用反证法证明.证明：假设m在线段cd上，则bdbm=cmcd，且ab2=bd2+ad2,ac2=ad2+cd2.ab2=bd2+ad2bm2+ad2cd2+ad2=ac2，即ab2ac2,abac.这与abac矛盾，点m不在线段cd上.5.求证：若ab0,n为正整数，且n2，则.思路分析：开方不易运算，可转为乘方运算.证明：假设,则,即ab.这与ab0矛盾，成立.6.设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于_.思路解析：假设a、b、c中至少有一个数不小于x的反命题成立.假设a、b、c都小于x，即ax,bx,cx,a+b+c3x.a+b+c=1,3x1.x,若取x=就会产生矛盾.答案:我综合 我发展7.下列命题错误的是( )a.三角形中至少有一个内角不小于60b.四面体的三组对棱都是异面直线c.闭区间a、b上的单调函数f(x)，至多有一个零点d.设a、bz,若a+b是奇数，则a、b中至少有一个是奇数思路解析：逐一用反证法判断.答案:d8.平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.思路分析：命题的结论是以否定形式给出，宜采用反证法.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形.记这四个点为a、b、c、d，考虑点d在abc之内或之外两种情况：(1)如果点d在abc之内，由假设围绕点d的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾.(2)如果点d在abc外，a、b、c、d都小于90与四边形abcd的内角和为360相矛盾.综上，假设不成立，原结论成立.9.已知f(x)=x2+px+q.(1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2;s(2)求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.思路分析：本题可用反证法，借助第(1)问的结论得到矛盾.证明：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12不成立.则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于.则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p