高中数学 第4章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系教材梳理素材 新人教A版必修2.doc

4.2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识巧学一、直线与圆的位置关系的判断 方法一：代数法(或法) 将直线的方程与圆c的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程.(1)当0时，方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l与圆c相交；(2)当=0时，方程有唯一解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线l与圆c相切；(3)当0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l与圆c相离. 方法二：几何法 判断圆c的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系.(1)如果dr，直线l与圆c相离.方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的，研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外，一般都用数形结合求出字母的取值范围.二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题，常规方法是比较d与r的大小.2.求圆的切线方程问题，求切线有三种情况：(1)从圆上的已知点为切点求切线；(2)已知切线的斜率求切线；(3)已知圆外一点求切线.求切线的方法：(1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2)判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3)切点坐标代换法，即如果圆的方程为x2+y2=r2，则过圆上一点(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.3.关于弦长问题，一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示 在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系.当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外，则切线有两条，可以设出直线方程，用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解.问题探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究:沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆c：(x-2)2+(y-3)2=4，直线l：(m+2)x+(2m+1)y=7m+8，当mr时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m有关吗？探究:由已知直线l的方程(m+2)x+(2m+1)y=7m+8变形可得(2x+y-8)+m(x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y-8=0和x+2y-7=0的交点，解之可得交点为(3,2),即无论m为何值，直线l恒过定点(3,2).而容易判断点(3,2)在已知圆内，所以直线与圆总相交，与参数m无关.典题热题例1 求经过点(1，-7)且与圆x2+y2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，-7)代入圆方程，有12+(-7)2=5025，可知点(1，-7)是圆外一点，故所求切线有两条，要求切线方程，只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y+7=k(x-1)， 即y=k(x-1)-7.将其代入圆的方程x2+y2=25得x2+k(x-1)-72=25，整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0，=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0. 整理得12k2-7k-12=0,k=或k=. 所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 法二：设所求切线的斜率为k，则所求直线方程为y+7=k(x-1)，即kx-y-k-7=0，由圆的切线的性质，可得，化简得12k2-7k-12=0,k=或k=. 所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0. 法三：设所求切线方程为x0x+y0y=25，其中(x0,y0)是圆上的点，将坐标(1，-7)代入后得x0-7y0=25，由 解得 或 故所求切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.深化升华 求切线一般有三种方法：设切点用切线公式法；设切线斜率用判别式法；设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆的半径列式求解法.过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在时的情况.例2 求与圆x2+(y-2)2=1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.思路解析：本题所求的是切线的方程，且在x轴上的截距和在y轴上的截距互为相反数，所以可以考虑从直线的截距式方程入手来求方程，当然首先要注意到截距为零的情形.解：(1)截距为0时，设切线方程为y=kx，则d=,解得k=，所求直线方程为y=x.(2)截距不为0时，设切线方程为x-y=a，则d=，解得a=-2,所求直线方程为x-y+2=0. 综上所述，所求的直线方程为y=和x-y+2=0.误区警示 因为直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情况.例3 当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交、相切、相离？思路解析：利用代数法或几何法求解.代数法注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直线的距离与圆的半径的大小作比较.解：(方法一)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.=4m(3m+4)，当0，即m0或时，直线与圆相交； 当=0，即m=0或时，直线与圆相切； 当0，即时，直线与圆相离.(方法二)已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4， 即圆心为c(2,1)，半径r=2. 圆心c(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=. 当d2，即m0或时，直线与圆相交； 当d=2，即m=0或时，直线与圆相切； d2，即时，直线与圆相离.深化升华 直线与圆的位置关系的两种判定方法:代数法与几何法.直