高中数学 第3章 概率 3.4 互斥事件及其发生的概率知识导引学案 苏教版必修3.doc

3.4互斥事件及其发生的概率案例探究 有3个1 g砝码，3个3 g砝码和2个5g砝码，任意取出2个砝码，想一想，如何求下面三个事件的概率？ （1）两个砝码重量相同的概率； （2）两个砝码总重为6g的概率； （3）两个砝码总重量不超过8g的概率. 解析：（1）记“两个砝码重量相同”的事件为a “两个砝码重量都是1g”的事件为a1. “两个砝码重量都是3g”为事件a2，“两个砝码重量都是5g”为事件a3，a1、a2、a3是互斥的. 显然a=a1+a2+a3，由前面知识得p（a1）=，p（a2）=，p（a3）=.（为什么） 由互斥事件的加法公式，有p（a）=p（a1）+p（a2）+p（a3）=+=. （2）记“两个砝码总重量为6g”为事件b “两个砝码中一个砝码为1g，另一个砝码为5 g”为事件b1，“两个砝码重量都为3g”为事件b2，b1，b2互斥. 显然b=b1+b2. p（b1）=，p（b2）=.（为什么） p（b）=p（b1）+p（b2）=+=. （3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件. 设“两个砝码总重量大于8 g”的事件为c“两个砝码总重量不超过8g”的事件为d，则c与d为对立事件.两个砝码总重量超过8g，其中只包括两个砝码都是5g的情况，于是p（c）=. p（d）=1-p（c）=1-=.自学导引 1不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events）. 2如果事件a，b互斥，那么事件a+b发生的概率，等于事件a，b分别发生的概率的和，即p（a+b）=p（a）+p（b）. 一般地，如果事件a1，a2，an两两互斥，则p（a1+a2+an）=p（a1）+p（a2）+p（an）. 3两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events）.事件a的对立事件记为a 4对立事件a与a必有一个发生，故a+a是必然事件，从而p（a）+p（）=p（a+）=1. 由此，我们可以得到一个重要公式： p（）=1-p（a）.5体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：优85分及以上9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人 （1）体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为a，b，c，d则a，b，c，d之间的关系为彼此互斥. （2）若将“体育成绩及格”记为事件e，则e与d为对立事件. 6互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.疑难剖析 【例1】 判断下列每对事件是否为互斥事件、对立事件，并说明道理. 从扑克牌40张（红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张）中，任取一张. （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，再要考察它们是否必有一个发生. 解：（1）是互斥事件，不是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生.这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此，二者不是对立事件. （2）既是互斥事件，又是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，并且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件. （3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 思维启示：“互斥事件”是“对立事件”是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件.因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.也就是说，“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件.“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件. 变式训练：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件. （1）恰有1名男生与2名都是男生； （2）至少有1名男生与全是男生； （3）至少有1名男生与全是女生； （4）至少有1名男生与至少有1名女生. 解：（1）因为“恰有1名男生”与“2名都是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当选出的是2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件. （2）因为选出的是2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件. （3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立. （4）由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. 【例2】 射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率. 思路分析：“射中10环”“射中9环”“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的并（和）”的概率公式求解. 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为a、b、c、d、e，则a、b、c、d、e是彼此互斥事件. （1）射中10环或9环的概率为p（a+b）=p（a）+p（b）=0.24+0.28=0.52. （2）至少射中7环包括射中10环或9环或8环或7环，于是至少射中7环的概率为p（a+b+c+d）=p（a）+p（b）+p（c）+p（d）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87 （3）射中环数不足8环包括射中7环或射中7环以下，于是射中环数不足8环的概率为p（d+e）=p（d）+p（e）=0.16+0.13=0.29. 思维陷阱：抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件a为“出现奇数”，事件b为“向上的数不超过3”，求p（a+b）. 错解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为a1，a2，a3，a5则 p（a）=p（a1）+p（a3）+p（a5）=+=， p（b）=p（a1）+p（a2）+p（a3）=+=， p（a+b）=p（a）+p（b）=+=1. 错因分析：上述解法错误的原因是：a、b两事件不是互斥事件，错误地运用了互斥事件的概率公式. 正解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为a1，a2，a3，a5，这四个事件彼此互斥.故 p（a+b）=p（a1）+p（a2）+p（a3）+p（a5）=+=. 思维启示：公式p（a+b）=p（a）+p（b）只有在a、b互斥时才可使用，a、b两事件不互斥就不能使用这一公式.同学们在应用这一公式求解时，首先要判断准确是否是互斥事件，然后再应用公式，要避免盲目地、机械地应用公式. 【例3】 一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率. 解法1：设a表示“掷3次硬币出现正面”，表示“连续掷3次硬币”，则=（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反） 有8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且 a=（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正） 事件a有7个基本事件组成， 因而p（a）=. 解法2：设a1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，a2表示“掷3次硬币有两次出现正面”，a3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，a表示“掷了3次硬币出现正面”.显然a=a1+a2+a3，同解法一容易得出p（a1）=，p（a2）=，p（a3）=， 又因为a1、a2、a3彼此是互斥的，所以： p（a）=p（a1+a2+a3）=p（a1）+p（a2）+p（a3）=+=. 解法3：在本例中，显然a表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且p（）=，根据p（a）+p（）=1. p（a）=1-p（）=1-=. 思维启示：（1）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数. （2）求某些较为复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式p（a）=1-p（a）计算. 变式训练：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，从口袋中任意摸一球，摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33，求： （1）摸出红球或黄球的概率； （2）摸出蓝球的概率. 解：记事件a为“摸出红球”，b为“摸出黄球”，c为“摸出蓝球”. （1）a与b是互斥事件，故摸出红球或黄球的概率为p（a+b）=p（a）+p（b）=0.45+0.33=0.78 （2）事件c与a+b是对立事件，故摸出蓝球的概率是p（c）=1-p（a+b）=1-0.78=0.22.【例4】 如右图所示，设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上.求硬币落下后与格线有公共点的概率. 解析：记a=硬币落下后与格线有公共点，b=硬币落下后与格线没有公共点，则事件a与b是对立事件.为了确定硬币的位置，由硬币中心o向正方形网格四边引垂线om、on、op、oq，垂足为m、n、p、q.事件b发生的充要条件是|om|、|on|、|op|、|oq|都大于2cm，即o在与正方形网格同中心的以4cm为边长的小正方形内.所以由几何概率公式得p（b）=.因为a、b是对立事件，所以p（a）=1-p（b）=1-. 答：硬币落下后与格线有公共点的概率是. 思维启示：解决此题的关键是转化为对立事件的概率，寻找与事件b对应的区域是解答此题的难点. 【例5】 在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求： （1）取得两个红球的概率； （2）取得两个绿球的概率； （3）取得两个同颜色的球的概率； （4）至少取得一个红球的概率. 解析：记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4,三个绿玻璃球为b1、b2、b3，第一次抽取有7种结果，对第一次抽取时的每种结果，第二次抽取时又有6种结果，故共有76=42种结果. （1）记“取得两个红球”为事件a1，a1有（a1,a2）,(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),（a3,a4），(a2,a1),(a3,a1),(a4,a1),(a3,a2),(a4,a2),(a4,a3)12种结果. p（a1）=. （2）记“取得两个绿球”为事件a2，a2有（b1,b2）,(b1,b3),(b2,b3),(b2,b1),(b3,b1),(b3,b2)6种结果. p（a2）=. （3）记“取得两个同颜色的球”为事件a a=a1+a2，a1、a2互斥. 由互斥事件的概率加法公式得p（a）=p（a1）+p（a2）= +=. （4）记“至少取得一个红球的概率”为事件b，显然事件b是事件a2的对立事件. p（b）=1-p（a2）=1-=. 思维启示：袋中摸球问题是概率中的重要题型，课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析.本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析，目的是加强知识的综合应用.通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概率，或通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目的.在求解时，要注意灵活使用公式，若直接求较困难或情况较多，则可通过求其对立事件的概率来求.拓展迁移【拓展点1】 用0，1两个数字编码，码长为4（均为二进制四位数，首位可以是0），从所有码中任选一码，求事件“码中至少有两个1”的概率. 解法1：事件“码中至少有两个1”记为a，用x1,x2,x3,x4分别表示码的第一、二、三、四位上的数字，它们在0，1中取值，于是令 a=x1+x2+x3+x42 a1=x1+x2+x3+x4=2 a2=x1+x2+x3+x4=3 a3=x1+x2+x3+x4=4 容易得出四位数的全部码有24=16个，故中元素个数为16 a1中的元素具有特征是四位数中有两个1，两个0，具体为：1100，1010，1001，0011，0101，0110因而a1中包含6个元素. a2中的元素特征是四位数中有三个1，一个0，具体为： 1101，1110，1011，0111，因而a2中会有4个元素.a3中的元素特征是四位数中有四个1具体为1111.因而a3中含有1个元素，由于a1、a2、a3互斥，a=a1+a2+a3. p（a）=p（a1）+p（a2）+p（a3）= 解法2：本解法比解法一更为简便. =“最多有一个1”=x1+x2+x3+x41. a中元素特征为四位数中四个数均为0或一个1，三个0，具体为：0000，1000，0100，0010，0001，因而中含有5个元素. p（a）=， p（a）=1-p（a）=1-=.【拓展点2】 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51.在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概