高中数学 1.3 圆锥截线 1.3.1 球的性质（2）知识导航学案 苏教版选修41.doc_第1页
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1.3.1 球的性质（第二课时）自主整理1.若平面与球o相切，切点为m，则平面内经过m的直线都与球o_，平面内不经过m的直线都与球o_.2.从球外一点可以引球的_条切线，所有的切点组成球的一个_.3.球外一点向球引的切线长相等.4.圆柱面与球相切，切点组成球的_，该大圆所在平面与圆柱的轴_.5.圆锥面与球相切，切点组成一个球的_，该小圆所在的平面与圆锥的轴_.高手笔记1.如何判定直线与球的位置关系？答：设球心o到直线l的距离为d，球的半径为r，则若dr，则直线与球相离；若d=r，则直线与球相切；若dr.证明：如图1.3-11，因为平面与球o相切于点m，所以om平面.设平面内的直线a经过m，则om直线a，即om是点o与直线a的距离.所以直线a与球相切.而对于平面上不过m的直线b，作出o与直线b的距离on，由于onom，故b与球o相离.绿色通道 本题除了利用d与r的大小关系来判断直线与球的位置这个方法之外，也可以利用直线与球面的交点的个数来判断直线与球的位置关系；具体方法如下：由于平面与球o只有唯一公共点m，平面内的点除m外都在球o外，故直线a上的点除m在球上外，其余的点都在球外，即直线与球只有唯一公共点，故直线与球相切.而平面内不过m的直线上所有的点都在球o外，故直线与球o相离.变试训练1.求证：当直线l与球o相离时，经过l可以作一个平面与球o相切.证明:过o作oal，垂足为a，设l与o点确定的平面为，过oa与垂直的平面设为,过a点在内作球的切线ab，切点为b，则l与ab确定的平面即与球相切，下面证明这一点：因为lao且lab，故l平面,又l,，过o作平面的垂线，垂足一定在与的交线ab上，由上面的作法知，垂足为b且b在球面上，故球心到平面的距离d=ob=r.即d=r,故平面与球o相切.（如图所示）【例2】求证：圆柱面与球相切，切点组成球的大圆，该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.分析：利用圆柱面与球的形成过程证明.图1.3-12证明：如图1.3-12，如果取一个半圆o，并过与半圆直径ab垂直的半径oc外端作半圆的切线l.这时，半圆与直线l绕ab旋转就分别得一个球和一个圆柱，直线l不论旋转到什么位置都与球相切，而且过切点的球半径始终与轴ab垂直，从而所有的切点都在过球心o且与轴ab垂直的平面上，即切点组成了球的大圆，且该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.这时圆柱面与球相切.绿色通道 本题的证明方法是利用平面内的直线与半圆相切，然后通过旋转，把平面内的相切推广到空间中的相切关系.变试训练2.求证：圆锥面与球相切，切点组成一个球的小圆，该小圆所在平面与圆锥的轴垂直.证明:如图所示，如果取一个半圆o，并过与半圆直径不垂直的半径op外端作半圆的切线l,这时，半圆与直线l绕半圆直径所在直线l旋转就分别得一个球和一个圆锥面，直绕l不论旋转到什么位置都与球相切，过p点作l的垂面，设平面与l的交点为q，则pql，当点p绕l旋转时，由于pq始终与l垂直，从而pq始终在平面内运动，
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