高中数学 第3章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率教材梳理素材 新人教A版必修2.doc

3.1.1 倾斜角与斜率疱丁巧解牛知识巧学一、直线的倾斜角1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.2.倾斜角的范围：当直线l与x轴相交时，可以是锐角、直角、钝角.当l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此0180.3.倾斜角的意义：平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线，只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以了.要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件：直线向上的方向；x轴的正方向；小于平角的正角，因此倾斜角的取值范围为0180.2.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.二、直线的斜率1.斜率：当直线l的倾斜角不为90时，的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.2.斜率公式：k=tan(90).3.斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率(倾斜角为90时无斜率).若直线斜率k0，则倾斜角为锐角；若k0，倾斜角为钝角；若k不存在，倾斜角为90；若k=0，倾斜角为0.当直线斜率k0时，直线斜率越大，倾斜角越大；当直线斜率k0时，直线斜率越大，倾斜角越大.4.斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此，要确定一条直线，只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了.误区警示 在求解有关直线斜率的问题时，考虑直线的倾斜角是否为90，即斜率是否存在是非常必要的，否则容易造成丢解.三、已知直线上两点求斜率的公式 已知直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则其斜率为k=.斜率公式既可以由已知两点求斜率，也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式，即公式的正用与逆用. 直线的斜率公式k=有意义的条件为x1x2，应用此公式时常常用到方程思想.误区警示 从公式可以看出当x1x2，即p1p2与x轴垂直时，k不存在（90）.当y1y2，即p1p2与y轴垂直时，k0（0）,并且k的值与p1、p2两点坐标的顺序无关.问题探究问题1 一次函数y=kx+b的图象是什么？k0时，其函数的单调性怎样？对应的图象有什么特征？探究:图象为直线；k0时，函数在(-，+)上递减；其对应的图象的斜率小于0.出现“左高右低”的形式.问题2 任一直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？是否直线的倾斜角越大，其斜率也越大？探究:都有倾斜角；不一定都有斜率，如=90时，斜率不存在；应分0,90)和(90,180)两个区间分别说明，直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的，而0,180)时，则不正确.问题3 请同学们在地面上固定一个点p，并放置一根直棒ab，使点p与ab不共线，当建立一个直角坐标系，使p(0，-2)、a(-2，1)、b(3，2)时，由点p引一根很长的线pq，当线pq绕点p旋转，总与棒ab相交时，你能求出该线pq的斜率的取值范围吗？探究:该问题可以画图分析，即可转化为直线pq由pb逆时针旋转到pa过程中直线pq的斜率的变化范围.而kpb=，kpa=,在此旋转过程中，pq的斜率由kpb变化到无穷大，又由无穷大变化到kpa. 所以pq的斜率的取值范围为(-,+).典题热题例1 已知直线l经过点a(-2，0)、b(-3，1)，求l的倾斜角.思路解析：先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k0时，倾斜角为钝角，利用tan=tan(180-)，其中tan=-k，为锐角.解：设直线l的斜率为k，倾斜角为，则k=，tan=-1.tan45=1，tan(180-45)=-tan45=-1.=180-45=135，即l的倾斜角为135.深化升华 用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可，顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时，若直线斜率k0，则倾斜角为锐角；若k0，倾斜角为钝角；若k不存在，倾斜角为90；若k=0，倾斜角为0.例2 若直线l1的斜率为k1，倾斜角为1，直线l2的斜率为k2，倾斜角为2，且k1+k2=0，k1k20.求证：1+2=180.思路解析：该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系，证1+2=180，只需证2=180-1，也即证tan2=tan(180-1)成立，再考虑2与180-1在同一单调区间内即可. 证明：如图3-1-1所示，k1+k2=0，且k1k20，图3-1-1k10，k20，故k1=-k2， 即tan1=-tan2=tan(180-2).01180，02180，-180-20，0180-2180.1与180-2都在(0，180)中，且1、2都不等于90.1=180-2，即1+2=180.深化升华 本题给出的直线的倾斜角与斜率的关系，可以作为结论来记忆；若两直线的斜率和为0，则两直线的倾斜角互补.例3 一束光线从点a(-2,3)射入，经x轴上点p反射后，通过点b(5，7)，求点p的坐标.思路解析：光的反射原理中，入射角与反射角相等，由此可得入射光线与反射光线倾斜角之间的关系.解：设p(x，0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，设入射角为，反射角为，=.所以反射线pb的倾斜角与入射线ap的倾斜角(-