高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制教案 新人教A版必修4.doc

1.1.2 弧度制一、教学目标：1理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系； 2在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。二、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念三、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。利用ppt和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。六、教学基本流程： 创设情境探究新知得到概念深入探究理解概念巩固新知应用概念总结归纳提高升华四、教学过程：（一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？（二）新课讲授问题一：圆心角，当半径为1，2，3，4时，计算圆心角所对弧长与半径的比值。用几何画板演示:（1）当圆心角不变，半径变化时，是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，随圆心角的变化而变化。因此，弧长与半径的比只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制弧度制。与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。几何画板演示：（1）1弧度的角=1，此时（是一个比的角略小的角）。（2）观察2弧度、3弧度的角，根据定义思考它们所对的弧长与半径是什么关系？（思考：若弧度，则弧长与半径的数量关系是？）xaybo（3）思考：若，则圆心角是多少弧度？ 问题二：根据定义，如何度量一个角的弧度数？请填写下面的表格并思考：如图，半径为的圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点a，终边与圆交于点b，填写下表：弧的长ob旋转的方向的弧度数的角度数逆时针方向逆时针方向1-20思考问题：1ob旋转的方向决定了角的_，也决定了的弧度数的_。2若一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是，则的弧度数是多少？3角度与弧度都用来度量角，它们之间一定可以换算。那么它们的关系是什么？如何换算？学生讨论，填表，回答问题，老师引导得出下列结论：结论：1正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。2如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是。即的值就是弧长中有多少个半径。这里，的正负由角的终边的旋转方向决定。3弧度，弧度。练习： 填写特殊角的度数与弧度数的对应表度弧度问：的角等于多少弧度？1弧度的角等于多少度？（ 弧度弧度； 弧度） 你能完成下面的换算吗？例1 （1）把下列角度化为弧度 ； 。（2）把下列弧度化为角度 2弧度； 弧度。（学生板演）解：（1）弧度=弧度（弧度=弧度）弧度=弧度（2）2弧度=弧度注：用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写。如表示2弧度的角，就表示弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略。问题三：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？（用表示半径，表示弧长，表示扇形面积，表示圆心角的弧度数，（学生思考，展示推导过程）弧长公式：由公式及可得：。扇形面积公式：解：因为，其中表示圆心角的度数，所以。（用圆心角的弧度数表示扇形面积）又因为，所以有（用弧长表示扇形面积）。注：弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处。例2（1）写出与角终边相同的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合。解：（1）与角终边相同的角的集合：（2）终边在y轴上的角的集合：。注：在同一个式子中，角度与弧度不能混用。（三）课堂小结： 今天我们学习了一种新的度量角的单位制弧度制：（1）我们定义了1弧度的角，在这个定义下，角的弧度数的绝对值：（2）弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；（3）角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；（6世纪，印度人孕育着最早的弧度制概念，1748年，数学家欧拉明确提出了弧度制思想，简化了三角公式及计算，从弧长公式与扇形面积公式可见一斑。今后的学习中，我们将尽量采用弧度制。）（四）课后作业：（五）板书设计：弧度制一、1弧度的角定义二、公式三、弧度例题八、教学反思：弧度制是一节概念课，学生理解起来是比较困难的，这也给上课带来了一定的难度。如何突破难点，让学生接受弧度这一新的单位制，比较顺畅的理解概念并能应用是我备课中重点考虑的问题。基于上述考虑，我在备课中设计了几个环节：（1）引入：通过让学生亲自计算，再用几何画板展示，让学生体会用度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念。（2）概念理解：通过用几何画板演示1弧度角的大小，观察2弧度角，3弧度角，让学生直观理解1弧度角的概念。（3）探究活动：让学生填写表格，并提出思考问题，在填表过程中让学生总结归纳出角的弧