高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数例题与探究（含解析）北师大版必修4.doc

1.6 余弦函数典题精讲1.为什么说：在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同?剖析：很多同学观察它们的图像后，知道这一点，但是离开图像就产生怀疑.究其原因是通过观察、归纳得到的结论没有加以证明.其突破方法是数形结合，要从数和形两方面来分析.我们知道函数的图像经过左右平移后，其形状未发生变化，但在坐标系中的位置变化了.类似于一个人从北京到纽约，这个人还是他本人，只是他的地理位置改变了.由平移变换，知函数f(x)=sinx的图像向左平移个单位得函数f(x+)=sin(x+).根据诱导公式sin(x+）=cosx知平移后的函数就是余弦函数f(x)=cosx的图像，由此可见在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同.由于sin(2k+x)=cosx(kn)、sin(-2k-+x)=cosx(kn)，则将正弦函数的图像向左平移2k+(kn)个单位或向右平移2k+(kn)个单位均得到余弦函数的图像.通过数和形两方面来分析，就真正明确了其中的正、余弦函数图像的关系，有利于帮助我们解决问题.2.正、余弦函数的诱导公式如何记忆？剖析：诱导公式太多，记不住.其突破路径是从以下几个方面找出规律：函数名称怎样变化；这些角和角有何共同特点；诱导公式右边的符号有什么变化规律.(1)-，2-，2k+(kz)的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.(2) -，+的三角函数值，等于的余名三角函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.（3）这两套公式可以归纳为：k+(kz)的三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇指k的奇偶.典题精讲例1根据余弦函数的图像，求满足cosx-的x的集合.思路分析：在一个周期-,内，找出满足不等式的x，再拓展到全体实数即可.解：余弦函数在-,内的图像如图1-5-5所示.图1-5-5由图,得在-,内，-x.则满足cosx-的x的集合是x|2k-x2k+,kz.绿色通道：利用余弦函数的图像可以解三角不等式，还可以求三角函数的周期.要善于利用余弦函数的图像即数形结合解决问题.黑色陷阱：如果在一个周期0,2上，找出满足不等式的x，再拓展到全体实数上，那么找出的范围是间断的，不是最简形式.要注意保持x的范围具有“连续性”变式训练1在（0，2）内，使sinxcosx成立的取值范围是（ ）a.（，）（，） b.（，）c.（，） d.（，）（，）思路解析：利用单位圆或三角函数图像解决会比较简捷直观.方法一（图像法）：作出0，2）区间上的正弦和余弦的函数图像，如图1-5-6（1）所示，易知两交点的横坐标为和，可知c正确.（1） （2）图1-5-6方法二（单位圆法）：如图1-5-6（2），在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知应选c.方法三（代入验证法）：当x=时，sin=0cos=-1，即x=符合题意，排除a、b、d.故选c.答案：c变式训练2函数y=|cosx|的周期是（ ）a.2 b. c. d.思路解析：画函数y=|cosx|的图像，如图1-5-7所示.图1-5-7由函数y=|cosx|的图像知周期为.答案：b例2已知角的终边经过点p（-5，12），求sin,cos.思路分析：分别写出x、y、r的值，应用定义求解.解：由x=5，y=12，得r=13.sin=，cos=-.绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解.变式训练已知角的终边经过点p（5t，12t），t0，求sin,cos.思路分析：应用三角函数的定义.解：由x=5t，y=12t，得r=13|t|.当t0时，r=13t.因此sin=，cos=；当t0时，r=-13t.因此sin=-，cos=-.例3（经典回放）设m和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则m+m等于（ ）a. b. c.- d.-2思路分析：只需据y=cosx的性质（或图像）确定m、m.由y=cosx-1，且xr可知ymax=m=-1=-，ymin=m=-1=-.m+m=-2.答案：d绿色通道：解决y=acosx+b和y=acos2x+bcosx+c类型函数，要结合图像，利用换元法，并且正确理解运用余弦曲线的性质解决问题.变式训练1函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为（ ）a.2 b.0 c. d.6思路解析：利用换元法化归为求二次函数的最小值.设cosx=t,-1t1，则有y=t2-3t+2=(t-)2.画图可知，当t=1时，函数y=cos2x-3cosx+2取最小值0.答案：b变式训练2(2006北京高考卷，文2)函数y=1+cosx的图像（ ）a.关于x轴对称 b.关于y轴对称c.关于原点对称 d.关于直线x=对称思路解析：函数y=1+cosx是偶函数，其图像关于y轴对称.答案：b问题探究问题求适合条件cosx=的角x的集合.导思：要求角x的集合，必须明确怎样表示角x的余弦值.我们知道余弦线表示余弦值，余弦函数的图像能反映余弦值的大小，由此探究的思路有两条，思路一：图像法，利用余弦函数的图像；思路二：利用余弦线.探究：方法一（图像法）：如图1-5-8所示，在同一坐标系中画出余弦函数y=cosx的图像和直线y=，则函数y=cosx的图像和直线y=交点的横坐标就是适合条件cosx=的角x.图1-5-8在一个周期-,内，有x=.所以适合条件cosx=的角x=2k