高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角、弧度学案 苏教版必修4.doc

1.1 任意角、弧度典题精讲例1 一条弦的长度等于半径r，求:(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析:解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由扇形面积减三角形面积求得.解:(1)如图1-1-1，因为半径为r的圆o中弦ab=r，则oab为等边三角形，所以aob=.则弦ab所对的劣弧长为r.图1-1-1(2)saob=oaobsinaob=r2，s扇形oab=|r2=r2=r2，s弓形=s扇形oab-saob=r2-r2=(-)r2. 绿色通道:图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与弓形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中，从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.变式训练 地球赤道的半径是6 370 km，所以赤道上1的弧长是_(精确到0.01 km).思路解析:1= rad，弧长l=r|=6 370=1.85(km).答案:1.85 km例2 （2005全国高考卷，1） 已知为第三象限角，则所在的象限是( )a.第一或第二象限b.第二或第三象限c.第一或第三象限d.第二或第四象限思路解析:因为第三象限角与之间的角并不等价，由在第三象限,应在区间(2k+,2k+)(kz)内，要判定在第几象限，需分k是奇数，k是偶数两种情况去讨论解决，即2k+2k+k+k+,当k为偶数时，在第二象限，当k为奇数时，在第四象限.答案:d 绿色通道:(1)由的象限确定2的象限时，应注意2可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如=45，2=90就不再是象限角.(2)在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图1-1-2来记忆.图中、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如当为第一象限角时，为第一、三象限角的前半区域；当为第二象限角时，为第一、三象限角的后半区域.依此类推.图1-1-2 黑色陷阱:(1)由是第二象限角，仅想到90180，从而得到4590和仅得到为第一象限角，而将是第三象限角的可能性丢掉.(2)解题时容易将的范围误认为90180,即误认为是钝角，导致错误.同时在得出的范围时,不进行分类讨论,或者讨论时不按奇数和偶数分类.变式训练 1已知单位圆上一点a(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过(0)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求角的弧度数.思路分析:这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题 ，可以根据题意画图分析，并由此列出角的等式或不等式.解:由0,得022，又因为2在第三象限，所以2.由14=2k(kz)，得2=(kz)，所以,即k.所以k=4或5;=或.变式训练 2若锐角的终边与它的10倍角的终边相同，求.思路分析:与角终边相同的角均可以表示为2k+(kz)的形式，注意题目中是锐角.可以根据题意列出方程解出，这一方法也体现了在三角函数中“方程思想”的应用.解:由题意，得10=2k+(kz)，=(kz).又为锐角，k可以取1、2两个值，即=40或=80.例3 已知扇形的周长为20 cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？思路分析:根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，然后利用求函数最值的方法求解. 解:设扇形的圆心角为,半径为r，由已知条件,得扇形的弧长l=r.2r+r=20,=.s扇形=r2=r2=r(10-r)=-r2+10r.当r=-=5时，s扇形最大=25，此时=2. 绿色通道:几何图形求最值的途径有两种:一是利用几何意义，从图形中直接找出(本例不好找)；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.变式训练 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_弧度，扇形的面积是_.思路解析:设扇形的圆心角是弧度，则扇形的弧长是r，扇形的周长是2r+r.由题意,知2r+r=r，=-2.扇形的面积为s=r2=r2(-2).答案:-2 r2(-2)问题 探究问题 1 在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角是多大？ 导思:解答此类问题 时，要考虑到问题 的多种情况，不要上来就盲目地解答.首先对问题 有个大体的了解，然后再联系所学知识进行解答，可能起到事半功倍的效果.此题不要忽视了转体的顺、逆方向会影响到角的正负号.利用角的定义及正角、负角的概念，这个问题 就迎刃而解. 探究:如果是逆时针转体，则分别是3603=1 080和3602.5=900；若是顺时针转体，则分别为-1 080和-900.问题 2 在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角度看，能否利用黄金比例(0.618)去设计一把有美感的白纸扇呢？此时的张角是多大呢？ 导思:在设计纸扇张开角()时，可以考虑从一圆形(半径为r)分割出来的扇形的面积(a1)与剩余面积(a2)的比值.若这一比值等于黄金比例，