高中数学 第一章 三角函数 1.7.2 正切函数的图像与性质学案 北师大版必修4.doc

1.7.2正切函数的图像与性质学习目标重点难点1记住任意角的正切函数定义2掌握正切线的画法3能熟练运用正切函数的图像与性质解决问题，树立数形结合的意识，提高分析问题、解决问题的能力.重点：任意角的正切函数定义、正切函数的图像和性质的应用难点：正切函数的图像和性质的应用疑点：正切函数ytan x在整个定义域上是不是增函数.1任意角的正切函数(1)正切函数的定义：在直角坐标系中(如图)，如果角满足：r且k(kz)，那么，角的终边与单位圆交于点p(a，b)，比值是角的函数，叫作角的_，记作_，其中r，且k(kz)(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系_.(3)正切函数值在各象限的符号当角在第一和第三象限时，其正切函数值为_；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为_预习交流1在上图中，如何定义角的余切函数？预习交流2已知任意角的终边与单位圆的交点为p，请作出角的正弦线、余弦线、正切线2正切函数的图像及性质(1)正切函数的图像：(2)正切函数的性质：定义域：_；值域：_；周期性：周期是_，最小正周期是_；奇偶性：_函数；单调性：在_内是增加的预习交流3如何作出正切函数的图像？预习交流4正切函数在定义域内是增函数吗？答案：1(1)正切函数ytan (2)tan (3)正负预习交流1：提示：比值叫作角的余切函数，记作ycot ，其中r，k，kz.预习交流2：提示：上述各图中，线段mp为角的正弦线；线段om为角的余弦线；线段at为角的正切线2(2)rk(kz，且k0)奇(kz)预习交流3：提示：(1)几何法利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图像，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x和x.在“三点”、“两线”确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左延伸即可得到正切曲线预习交流4：提示：不是正切函数在每个单调区间(kz)内都是增函数，但在整个定义域内不具有增减性，比如18030，但tan 1800tan 30.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1正切函数的定义及应用若tan ，借助三角函数的定义求角的正弦函数值和余弦函数值思路分析：由tan 0可判断出角所在的象限，然后利用三角函数的定义求sin 与cos .已知角的终边经过点p(1，2)，求的值(1)已知角终边上一点p(x，y)，点p到原点o的距离r|op|，则sin ，cos ，tan .(2)已知角的正切值，在求它的正弦值和余弦值时，要注意对角所在的象限分类讨论2正切函数的定义域、值域问题求函数y的定义域思路分析：此类问题一般是根据求函数定义域的要求，列出使函数有意义的不等式或不等式组，进而求解求函数ytan的定义域、值域求与正切函数有关的函数的定义域、值域的方法及应注意的问题(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk(kz)而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解(2)求解与正切函数有关的函数值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围3与正切函数有关的函数的单调性问题求函数ytan的单调区间思路分析：利用整体代换，将x看作一个整体进一步求解求函数y2tan的定义域、值域和单调区间正切函数单调性的解读(1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数，在整个定义域内不是增函数，另外正切函数不存在减区间(2)对于函数yatan(x)(a，是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，由kxk(kz)，求得x的范围即可(3)运用正切函数单调性比较大小的步骤：运用下节要学习的诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系4利用函数图像研究函数性质利用正切函数的图像作出ytan x|tan x|的图像，并根据图像研究其性质思路分析：先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图直线ym(m为实数)与正切函数ytan x的图像相交的相邻两点间的距离是_(1)作函数y|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)的图像在x轴上方的部分；将函数yf(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可答案：活动与探究1：解：因为tan 0，所以，是第一或第三象限的角(1)如果是第一象限的角，则由tan 可知，角终边上必有一点p(4,3)，所以x4，y3.因为r|op|5，所以sin ，cos .(2)如果是第三象限的角，则由tan 可知，角终边上必有一点p(4，3)，所以x4，y3.可知r|op|5，所以sin ，cos .迁移与应用：解：x1，y2，tan 2.活动与探究2：解：由题意得所以该函数的定义域为(kz)迁移与应用：解：由xk，kz，得x2k(kz)所求函数的定义域为，值域为r.活动与探究3：解：由kxk，kz，得2kx2k，kz，该函数的单调递增区间是，kz.迁移与应用：解：y2tan2tan，由2xk，得x(kz)，所求函数的定义域为，值域为r.由k2xk，kz，得k2xk，kz.x，kz.又函数ytan的单调递增区间即为y2tan的单调递减区间，所求函数的单调递减区间为(kz)活动与探究4：解：当x(kz)时，ytan x0，当x(kz)时，ytan x0，ytan x|tan x|如图所示性质：定义域：(kz)，值域：0，)，单调性：增函数，递增区间为(kz)，奇偶性：非奇非偶函数，周期性：以为周期的周期函数迁移与应用：解析：正切函数ytan x的图像与直线ym相交的相邻两点之间的距离为一个周期.1函数ytan 2x的最小正周期是()a. b. c d22下列命题中，正确的是()aytan x是增函数bytan x在第一象限是增函数cytan x在区间(kz)上是增函数dytan x在某一区间内是减函数3函数ytan的定义域是()a.b.c.d.4若sin 0，且tan 0，则是第_象限角5(1)函数y的定义域是_；(2)函数ytan x的值域是_答案：1b2c解析：对于选项a，例如x10，x2，x1x2，但tan 00，tan1，tan x1tan x2，故a不对对于选项b，例如x1，x22，x1x2，但tan x1tan x2，故b不对对于选项c，由正切函数的性质知是正确的选项d不正确3a解析：由xk，得xk，kz.4四解析：sin 0，的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上又ta