高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（第1课时）学案 新人教B版必修4.doc

1.3.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质基础知识基本能力1掌握用“五点法”作正弦函数简图的方法(重点、难点)2掌握由ysin x的图象理解正弦函数的性质，并会应用性质解决问题(重点)3了解周期函数的概念(易错点)1会求正弦函数的周期、单调区间和最值(重点)2能够运用整体思想，将x看作一个整体来求单调区间、周期等(重点、难点)1正弦函数的图象(1)正弦函数ysin x，xr的图象叫做正弦曲线我们用“五点法”作出ysin x，xr的图象如下图其中在x0,2的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，(，0)，(2，0)【自主测试1】ysin x的图象的大致形状是图中的()答案：c2正弦函数的性质(1)定义域：r.(2)值域：1,1，当且仅当x2k(kz)时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x2k(kz)时，正弦函数取得最小值1.(3)周期性：最小正周期为2.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间(kz)上，都从1增大到1，是增函数；在每一个闭区间(kz)上，都从1减小到1，是减函数【自主测试2】函数ysin x(0x2)的值域是_答案：1,13周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)a(a为常数)就没有最小正周期【自主测试3】f(x)sin x，xr是()a最小正周期为2的偶函数b最小正周期为2的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f(x)的最小正周期为2.又由f(x)sin(x)sin xf(x)，得f(x)是奇函数答案：b1探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为ysin x为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y轴左移或右移个单位长度，2个单位长度，3个单位长度，即k(kz)个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(，0)，点(2，0)，点(k，0)(kz)，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(k，0)(kz)，它们是图象与x轴的交点正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为xk(kz)，它们是过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线2对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：“f(xt)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，xt仍在定义域内且等式成立从等式“f(xt)f(x)”来看，应强调是自变量x本身加的非零常数t才是周期例如f(2xt)f(x)恒成立，但t不是f(x)的周期周期函数的周期不是唯一的，如果t是函数f(x)的周期，那么kt(kz，k0)也一定是函数f(x)的周期周期函数的定义域不一定是r，但一定是无限集对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期但是并不是所有周期函数都存在最小正周期3教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数ysin x，x0,2的图象怎样变换就能得到函数y1sin x，x0,2的图象剖析：函数ysin xysin x1(也可以说，将函数ysin x的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数ysin x1的图象)(2)请同学们自己动手推导：函数yasin(x)(其中a0，0，xr)的周期为t.剖析：设ux，因为ysin u的周期是2，所以sin(u2)sin u，即sin(x)2sin(x)sin.这说明，当自变量由x增加到x，且必须增加到x时，函数值重复出现因此yasin(x)的周期t.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为t.说明：若没有0这个条件，则周期t.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种(1)公式法：对于yasin(x)(a，是常数，且a0，0)，t.(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象【例题1】用“五点法”作出ysin的图象分析：先把x看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x，然后求出y.解：按五个关键点列表：x02x2y10101在直角坐标系中描出表中的五个关键点，并用光滑的曲线连接，然后向两边扩展，得下图所示的图象，即为所求作的图象反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x，2附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x，附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些题型二 讨论有关正弦函数的性质【例题2】讨论ysin x的性质分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手解：先用“五点法”作出ysin x的图象，如下图由图象去分析函数的性质，如下：(1)定义域：r.(2)值域：0,1(3)最值：当x2k(kz)时，取最小值0；当x2k(kz)时，取最大值1.(4)奇偶性：是非奇非偶函数(5)周期性：最小正周期为2.(6)单调性：在区间(kz)上是增函数；在区间(kz)上是减函数反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果题型三 正弦函数性质的简单应用【例题3】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xsin(x)；(2)f(x).分析：利用函数奇偶性的定义进行判断解：(1)函数的定义域为r，关于原点对称又f(x)xsin(x)xsin x，f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，f(x)是偶函数(2)函数应满足1sin x0，函数的定义域为.函数的定义域不关于原点对称该函数既不是奇函数也不是偶函数反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系【例题4】求函数y2sin的单调递增区间分析：把“2x”整体换元，代入正弦函数ysin x的单调区间，求出x即可解：设t2x，则t2x是关于x的增函数，而ysin t的单调递增区间为t(kz)故2x(kz)解得x(kz)因此函数y2sin的单调递增区间为 (kz)反思如果x的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换互动探究若将本例中的函数改为y2sin，求其单调递增区间解：y2sin2sin，只需求出y2sin的单调递减区间令2x(kz)，解得x(kz)因此函数y2sin的单调递增区间为(kz)1函数f(x)sin是()a周期为4的奇函数b周期为的偶函数c周期为的奇函数d周期为2的偶函数答案：a2下列函数的图象与下图中曲线一致的是()ay|sin x| by|sin x|cy|sin 2x| dy|sin 2x|答案：b3比较大小：(1)sin_cos；(2)sin_sin.解析：(1)cossin，又，但ysin x在上是减函数，sinsincos，即sincos.(2)0，且ysin x在上是增函数，sinsin.答案：(1)(2)4若x，函数ysin的最大值为_，相应的x值为_解析：x，2x.故当2x，即x时，y取最大值.答案：5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x).解：(1)f(x)sincos，xr.又f(x)coscosf(x)，