高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 导数课堂探究 新人教B版选修22.doc

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 导数课堂探究 新人教b版选修2-2探究一 求函数的平均变化率1求函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率的步骤是：(1)求函数值的增量：yf(x2)f(x1)；(2)求自变量的增量：xx2x1；(3)作商即得平均变化率：.2运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间t0，t1上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率【典型例题1】 (1)求函数f(x)在区间1,0，1,3，x0，x01上的平均变化率(2)若某一物体的运动方程为s2t2，那么该物体在t2到t3时的平均速度为_思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；(2)实质就是求函数s(t)在区间2,3上的平均变化率(1)解：f(x)在区间1,0上的平均变化率为：；f(x)在区间1,3上的平均变化率为：；f(x)在区间x0，x01上的平均变化率为：.(2)解析：平均速度为10，故该物体在t2到t3时的平均速度为10.答案：10探究二 导数定义的应用1利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数求导函数时，可按如下步骤进行：(1)求函数的增量yf(xx)f(x)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x).2求函数f(x)在xx0处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即f(x0) ；二是先利用导数的定义求出f(x)，再计算f(x)在xx0的函数值【典型例题2】 (1)求函数f(x)x3x在x1处的导数；(2)求函数f(x)2的导数思路分析：对于(1)可有两种方法：一是直接利用导数定义求解，二是先求出f(x)，再令x1求得f(x)的函数值即得导数值；对于(2)可按照导函数的定义直接求导数解：(1)(导数定义法)因为yf(1x)f(1)(1x)3(1x)2(x)33(x)24x，所以(x)23x4，于是f(x)在x1处的导数f(1)(x)23x44.(导函数的函数值法)因为yf(xx)f(x)(xx)3(xx)x3x(x)33(x)2x3xx2x，所以(x)23xx3x21.于是f(x)的导数f(x)3x21.从而f(1)31214.(2)因为yf(xx)f(x)22，所以，于是f(x)的导数f(x).点评 利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对的变形与化简，使之能够约去分母中的x，然后求得导数探究三 导数的几何意义及其应用1导数的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解【典型例题3】 (1)已知曲线yx22上一点p，则过点p的切线的倾斜角为()a30 b45 c135 d165(2)已知函数f(x)2x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_(3)若直线l：y4xa与曲线c：yx32x23相切，求实数a的值和切点的坐标思路分析：(1)先利用导数定义求出f(x)在x1处的导数，即得切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角；(2)先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方程；(3)应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解(1)解析：yx22，yx，y|x11，过点p的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45，故选b.答案：b(2)解析：函数f(x)2x在点x1处的导数为f(1)1.因此由导数几何意义知，曲线yf(x)在点(1，3)处的切线的斜率kf(1)1，因此切线方程为y(3)x(1)，即yx2.答案：yx2(3)解：设直线l与曲线c相切于点p(x0，y0)，f(x)3x24x.由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为或(2,3)当切点为时，有4a，a；当切点为(2,3)时，有342a，a5.所求a的值为a，切点为；a5，切点为(2,3)点评 本例(3)中，切线方程已知，从而切线斜率已知，但切点未知，因此应设出切点坐标，才能与导数的几何意义联系起来探究四 易错辨析易错点：不注意点是否在曲线上而出错【典型例题4】 试求过点m(1,1)且与曲线yx31相切的直线方程错解：3xx3x2(x)2， 3x2，因此y3x2，所以切线在x1处的斜率k3.故切线方程为y13(x1)，即3xy20.错因分析：本题错误在于没有注意到点m(1,1)根本不在曲线上，而直接把点m当成曲线上的点，利用导数几何意义求切线方程，导致错误避免错误的方法是先判断点是否在曲线上，再针对不同情况分别求解正确解答：y3x2(解法同上)，设过m(1,1)点的切线与曲线yx31相切于点p(x0，x1)，根据导数的几何意义，函