高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 1.4.3 单位圆与诱导公式学案 北师大版必修4.doc

1.4.3单位圆与诱导公式学习目标重点难点1.借助单位圆中的正弦线、余弦线推导出终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，从而理解并记住周期函数的定义2掌握、等诱导公式3能熟练运用诱导公式进行求值、化简、证明.重点：对周期函数的定义的理解和应用熟练运用诱导公式进行求值、化简、证明难点：对周期函数的定义的理解和应用疑点：、等诱导公式的探求思路、记忆及符号的判断.1单位圆与周期性(1)终边相同的角的正、余弦函数sin(2kx)_，kz.cos(2kx)_，kz.(2)周期函数与周期一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数t，对定义域内的任意一个x值，都有_，我们就把f(x)称为周期函数，t称为这个函数的_(3)最小正周期对于一个_函数f(x)，如果在它的所有_中存在一个_，那么这个_就叫做它的最小正周期预习交流1是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说明2单位圆与诱导公式(1)诱导公式(函数名称不变)sin(2k)sin ，cos(2k)cos .(kz)sin()_，cos()_.sin(2)_，cos(2)_.sin()_，cos()_.sin()_，cos()_.文字概括：2k(kz)，2，的正弦(余弦)函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号(2)诱导公式(函数名称改变)sin_，cos_.sin_，cos_.文字概括：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号预习交流2如何记忆正弦函数和余弦函数的诱导公式？预习交流3(1)sin_；(2)cos_；(3)sin_；(4)cos_.答案：1(1)sin xcos x(2)f(xt)f(x)周期(3)周期周期最小的正数最小的正数预习交流1：提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期例如，常数函数f(x)c(c为常数)，xr，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(xt)c，因此f(x)是周期函数，由于t可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期2(1)sin cos sin cos sin cos sin cos (2)cos sin cos sin 预习交流2：提示：(1)体会三种思想：转化思想任意角的三角函数值转化为090间角的三角函数值类比思想正弦函数的诱导公式类比余弦函数的诱导公式数形结合思想借助单位圆推导并理解公式(2)把握一个规律：“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式提示了角k(kz)与角的正弦、余弦函数值之间的关系，主要从函数名称和符号两个角度记忆“奇变偶不变”是说当k是奇数时，三角函数名称要改变，即正弦变余弦，余弦变正弦当k是偶数时，三角函数名称不变，即正弦仍为正弦，余弦仍为余弦“符号看象限”是说由于公式对于任意角都成立，不妨将角看作一个锐角，此时可用旋转的方法，观察角k(kz)所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负预习交流3：(1)(2)(3)(4)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1周期函数的理解与应用已知f(xa)f(x)(a0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期思路分析：只需找出一个常数t(t0)，满足f(xt)f(x)即可已知函数f(x)是r上的周期为5的周期函数，且f(1)2 012，求f(11)(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的如果只有个别的x值满足f(xt)f(x)，则不能说t是f(x)的周期(2)从等式f(xt)f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期如f(2xt)f(x)，不能说t是f(x)的周期2利用诱导公式求值求下列三角函数值(1)cos 945；(2)sin；(3)cos；(4)sin.思路分析：按“负角化正角，大角化小角”这一程序选择公式求下列三角函数值(1)sin；(2)cos；(3)cos(60)sin(210)解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360的角利用诱导公式转化到090之间的角进行求值在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用已知cosm(|m|1)，求cos，sin的值思路分析：注意到，可以用诱导公式转化已知sin(45)，求sin(135)的值解决条件求值问题的策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键3三角函数式的化简问题化简求值：.思路分析：根据诱导公式将各个三角函数分别化简化简：.化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点：(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如可写成2或，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式求角的正弦、余弦函数值，按“奇变偶不变，符号看象限”的方法更快，要注意训练这种方法答案：活动与探究1：证明：f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期迁移与应用：解：f(11)f(521)f(1)2 012.活动与探究2：解：(1)cos 945cos(2360225)cos 225cos(18045)cos 45；(2)sinsinsinsinsin；(3)coscoscos；(4)sinsinsinsinsin.迁移与应用：解：(1)sinsinsinsin；(2)coscoscoscoscoscos；(3)cos(60)sin(210)cos 60sin 210cos 60sin(18030)cos 60sin 300.活动与探究3：解：cosm(|m|1)，coscoscosm.sinsincosm.迁移与应用：解：sin(135)sin180(45)sin(45).活动与探究4：解：原式1.迁移与应用：解：原式1.1sin 210()a. b c. d2cos 330()a. b c. d3sin(2)cos化简的结果为()a0 b1 c2sin 2 d2sin 24已知cos，则cos_.5化简：.答案：1d解析：sin 2