高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（第1课时）学案 新人教B版必修4.doc

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时余弦函数的图象与性质基础知识基本能力1掌握“五点法”作余弦函数的图象(重点)2理解余弦函数的性质(重点、难点)1会求余弦函数的周期、单调区间及最值(重点、难点)2能正确使用“图象变换法”作出余弦函数ycos x和yacos(x)的图象(重点、易错点)1余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象余弦函数ycos x的图象叫做余弦曲线(2)余弦曲线除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，(，1)，(2，1)这五点描出后，余弦函数ycos x，x0,2的图象的形状就基本上确定了【自主测试1】画出函数ycos x，x0,2的简图分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线解：列表：x02cos x10101cos x10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得ycos x，x0,2的简图，如图所示2余弦函数的性质函数ycos x定义域r值域1,1奇偶性偶函数周期2单调性在每一个闭区间2k，(2k1)(kz)上都是减函数；在每一个闭区间(2k1)，2(k1)(kz)上都是增函数最大值与最小值当x2k(kz)时，ycos x取得最大值1；当x2k(kz)时，ycos x取得最小值1名师点拨一般地，函数yacos(x)(xr)(其中a，为常数，且a0，0)的周期为t.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期【自主测试21】函数y2cos x1的最大值和最小值分别是()a2，2 b3，1c1，1 d2，1答案：b【自主测试22】已知函数f(x)sin(xr)，下列结论错误的是()a函数f(x)的最小正周期为2b函数f(x)在区间上是增函数c函数f(x)的图象关于直线x0对称d函数f(x)是奇函数解析：f(x)sincos x(xr)，f(x)f(x)，函数f(x)是偶函数答案：d正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系剖析：正弦函数余弦函数区别奇偶性奇函数偶函数递增区间(kr)(2k1)，2(k1)(kz)递减区间(kz)2k，(2k1)(kz)对称中心(k，0)(kz)(kz)对称轴直线xk(kz)直线xk(kz)联系(1)定义域都是r，值域都是1,1；(2)最小正周期都是2；(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同；(4)sin2xcos2x1题型一 用“五点法”作函数yacos(x)的图象【例题1】用“五点法”画出函数y2cos 2x的简图分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图解：因为y2cos 2x的周期t，所以先在区间0，上按五个关键点列表如下x02x02cos 2x101012cos 2x20202描点，并用光滑的曲线将它们连接起来如下图然后把y2cos 2x在0，上的图象向左、右平移，每次平移个单位长度，则得到y2cos 2x在r上的简图如下反思在用“五点法”画出函数yacos(x)的图象时，所取的五点应由x0，2来确定，而不是令x0，2.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数ysin 2x的图象可由ycos的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应()a向左平移个单位长度 b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度 d向右平移个单位长度解析：ycossinsinsinsinsinsin，故函数ysin 2x的图象可由ycos的图象向右平移个单位长度得到故选d答案：d反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数ylg cos x的定义域分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可解：要使函数有意义，只需即利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为.反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数ycos x，x的值域；(2)求函数y的最值；(3)求函数y3cos2x4cos x1，x的值域分析：(1)结合ycos x的图象在区间上先增后减即可求解；(2)利用|cos x|1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解解：(1)ycos x在区间上单调递增，在区间上单调递减，ymaxcos 01，ymincos，ycos x的值域为.(2)由y，求得cos x.|cos x|1，1，2(y1)2(y1)2.解得y3，ymax3，ymin.(3)y3cos2x4cos x132，x，cos x，从而当cos x，即x时，ymax.当cos x，即x时，ymin.函数y3cos2x4cos x1的值域为.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围(2)利用函数的单调性(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数ycos的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期分析：利用整体换元，设t2x，则问题转化为考查函数ycos t的相关性质解：设t2x，则函数ycos t的图象如图所示令tk(kz)，则2xk(kz)故xk(kz)即为所求的对称轴方程令tk(kz)，则2xk(kz)，则xk(kz)故(kz)即为所求的对称中心当t2k，2k(kz)时，2x2k，2k(kz)，则x(kz)故其单调递减区间为(kz)coscos，最小正周期t.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查互动探究若将本例中的函数改为“y”呢？解：设t2x，则问题转化为考查函数y|cos t|，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心令tk(kz)，则2xk(kz)，对称轴为xk(kz)；令t(kz)，2x(kz)，则x故其单调递减区间为(kz)最小正周期t.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间(2)正弦函数ysin x和余弦函数ycos x取绝对值后，周期缩为原来的一半，即y|sin x|的周期为；y|cos x|的周期为.1下列说法不正确的是()a正弦函数、余弦函数的定义域是r，值域是1,1b余弦函数当且仅当x2k(kz)时取得最大值1，当且仅当x(2k1)(kz)时取得最小值1c正弦函数在每个区间(kz)上都是减函数d余弦函数在每个区间2k，2k(kz)上都是减函数答案：d2下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()aysin bycoscysin dycos答案：a3(2012重庆期末)把函数ycos图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为()aycos bycoscycos dycos答案：d4若函数yacos xb的最小值为，最大值为，则a_，b_.解析：由于ymax，ymin，且1cos x1，则当a0时，有解得当a0时，有解得综上，a1，b.答案：15函数y|cos x|的单调增区间为_，单调减区间为_，最小正周期为_解析：函数y|cos x|的图象，如图所示由图可知它的最小正周期为.又因为在一个周期上，函数的增区间是，减区间是.而函数的周期是k(kz)，因此函数y|cos x|的增区间是(kz)，减区间是(kz)答案：(kz)(kz)6函数f(x)的定义域为0,1，则f(cos x)的定义域是_解析：由已知0cos x1，得2kx2k(kz)答案：(kz)7已知函数f(x)3cos，xr.(1)用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭