高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.2 单位圆与三角函数线学案 新人教B版必修4.doc

1.2.2单位圆与三角函数线基础知识基本能力1了解三角函数线的定义(难点、易错点)2掌握在单位圆中某一角的函数线的画法(重点)1会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切(重点)2能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角方程或三角不等式、证明相关的命题等(重点、难点)1单位圆一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆【自主测试1】若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：单位圆上任意一点到原点的距离都是1；单位圆与x轴的交点只有一个，为(1,0)；过点(1,0)的单位圆的切线方程为x1；与x轴平行的单位圆的切线方程为y1.以上结论正确的个数为()a1 b2c3 d4解析：单位圆与x轴的交点有两个，为(1,0)和(1,0)；与x轴平行的单位圆的切线方程为y1，所以错误显然正确答案：b2三角函数线(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)，a(1,0)，而与y轴的交点分别为b(0,1)，b(0，1)设角的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点p(如图(1)，过点p作pm垂直x轴于m，作pn垂直y轴于点n，则点m，n分别是点p在x轴、y轴上的正射影(简称射影)由三角函数的定义可知，点p的坐标为(cos ，sin )，即p(cos_，sin_)其中cos om，sin on.这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标如图(2)，以a为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点t(或t)，则tan at(或at)我们把轴上向量，和(或)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线当角的终边在x轴上时，点p与点m重合，点t与点a重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线om1或1.当角的终边在y轴上时，正弦线mp1或1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在(2)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值知识拓展我们根据角能作出角的三角函数线，反过来，我们也可以根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围观察三角函数线的变化，我们知道：当角由0增加到2时，sin 在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；cos 在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；tan 在各个象限内都分别是增函数观察三角函数线的变化，还可以得出r时，sin ，cos 的值域为1,1，tan 的值域为r.【自主测试21】如图，在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是()a正弦线，正切线b正弦线，正切线c正弦线，正切线d正弦线，正切线答案：c【自主测试22】如果，分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()ampom0 bmp0omcmpom0 dommp0答案：d1利用有向线段表示三角函数值应注意的问题剖析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上三条有向线段中，两条在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边或其反向延长线的交点(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面2三角函数线的作用剖析：三角函数线在解决有关三角问题时，具有实用性、简捷性、直观性等特点，它是三角函数值的直观表达形式从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值的大小三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础如，求函数ylog2(sin x)的定义域我们可以通过转化为解不等式sin x0.解答如下：要使函数有意义，x的取值必须满足sin x0.如图所示，是角x的正弦线，则有sin xmp0.的方向向上角x的终边在x轴的上方2kx2k(kz)，即函数ylog2(sin x)的定义域是x(2k，2k)，kz.3教材中的“思考与讨论”角x(rad)，且0x，于是x，sin x，tan x都是实数请你给x一个具体的值，比较这三个实数的大小然后想一想，你得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立剖析：取x，则sin x，tan x.，tansin.又，sin.又tan，tan.从而可知，tansin.一般性证明：如图所示，0x.mp为x角的正弦线，at为x角的正切线，由于sopas扇形opasoat，且sopaoampsin x，s扇形opaxoa2x，soatoaattan x，sin xxtan x，即sin xxtan x.若x，则必有sin xxtan x.题型一 作出三角函数线【例题1】分别作出和的正弦线、余弦线和正切线分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图(1)解：在直角坐标系中作单位圆，如图(1)，以ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点p，作pmox轴，垂足为m，由单位圆与ox轴正方向的交点a作ox轴的垂线，与op的反向延长线交于t点，则sinmp，cosom，tanat，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.(2)同理可作出的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)sinm1p1，cosom1，tana1t1，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.反思关于三角函数线的几点说明：(1)正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值，与x轴或y轴的正方向反向的为负值(3)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面题型二 利用三角函数线比较大小【例题2】比较cos与cos的大小分析：先画出与的余弦线，再利用余弦线的长度及方向进行比较解：如图所示，射线op1是角的终边，射线op2是角的终边，过p1，p2分别作p1m1x轴，p2m2x轴，垂足分别为m1，m2，所以cosom1，cosom2.由右上图易知，om1om2，故coscos.反思利用三角函数线解决一些与三角函数有关的大小比较问题十分方便，因此，在解决类似问题时，我们要能够熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论这也是数形结合思想的很好体现当然利用作图的方法解题，要注意所作图的准确性题型三 利用三角函数线解不等式【例题3】在单位圆中画出符合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .分析：作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围解：(1)作直线y，交单位圆于a，b两点，连接oa，ob，则oa与ob围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.(2)作直线x，交单位圆于c，d两点，连接oc，od，则oc与od围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.反思通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角函数不等式的步骤：互动探究若将本例中(1)，(2)分别改为sin ，cos ，结论又如何？解：(1)；(2).题型四 易错辨析【例题4】利用三角函数线证明|sin |cos |1.错解：证明：如图所示，点p为角的终边与单位圆的交点，则mp|sin |，om|cos |，根据三角形中两边之和大于第三边易知|sin |cos |1.错因分析：上述解法忽视了角的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线和余弦线是有方向的，不能写成mp|sin |和om|cos |.正解：证明：当角的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r1)，所以|sin |cos |1.当角的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sin |cos |mp|om|1.综上，有|sin |cos |1.1若，则sin ，cos ，tan 的大小关系是()asin tan cos btan sin cos ccos sin tan dsin cos tan 解析：如图，在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线由图知，sin mp0，cos om0，tan at0，且mpom，故sin cos tan .答案：d2对角的正弦线叙述错误的是()a正弦线的起点为坐标原点b正弦线为有向线段c正弦线的长度为不大于1的正数d当角的终边不在坐标轴上时，正弦线所在的直线平行于y轴解析：因为正弦线的长度有可能为0，所以选项c错误答案：c3已知，角的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在()ax轴上 by轴上c直线yx上 d直线yx上答案：a4若sin 0，则的取值范围是_答案：2k2k，