高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值不等式例题与探究 新人教A版选修45.doc

1.2.1 绝对值三角不等式典题精讲【例1】 (经典回放)（1）若x5,nn,则下列不等式：|xlg|5|lg|;|x|lg5lg;xlg5|lg|;|x|lg5|lg|.其中，能够成立的有_.（2）不等式1成立的充要条件是_。思路解析：（2）题求充要条件，因而可从不等式的性质|a+b|a|-|b|出发，去寻找原不等式成立的充要条件.(1)01,lg0.由x5，并不能确定|x|与5的关系，可以否定 ，而|x|lg|b|时，有|a|-|b|0,|a+b|a|-|b|=|a|-|b|,必有1.即|a|b|是1成立的充分条件.当|1时，由|a+b|0,必有|a|-|b|0. 即|a|b|,故|a|b|是1成立的必要条件.故所求为：|a|b|.答案：（1） （2）|a|b| 绿色通道：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数（或式子）的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考察这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了. 题（2）是求充要条件，一般要从两个方面来探讨，一是充分性，二是必要性，两者缺一不可，但为了尽快寻找到满足题意的条件，在对代数式化简整理或变形中，若能使其等价变形式都能保证其等价的条件，最终都将成为要求的“条件”.【变式训练】 设ab0,下面四个不等式|a+b|a|;|a+b|b|;|a+b|a|-|b|中，正确的是（ ）a.和 b.和 c.和 d.和思路解析：ab0,a,b同号.|a+b|=|a|+|b|.正确.答案：c【例2】 设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：|m|a|,|x|m|b|x|m1|x|2|b|,|+|=2.故原不等式成立. 绿色通道：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|，|m|b|，m1”是证明本题的关键.【变式训练】 已知a,br且a0，求证：.思路分析：本题中要证明的不等式，包含|a+b|,|a-b|,|a|-|b|，因而需要利用绝对值的不等式的性质，其中2|a|=|a+b+a-b|，是一种常用的拼凑法，其次，观察要证明的不等式，可以发现不等式的左边（|a|-|b|），可能为正值(|a|b|时），也可能非正(|a|b|时).因而，又涉及到分类讨论.证明：（1）若|a|b|,左边=.,.左边=右边.(2)若|a|0,右边a恒成立，则a的取值范围是（ ）a.（-,3) b.(-,3c.(-,3) d.(-,-3思路解析：恒成立问题，往往转化为求最值问题，即a|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立，即a|x+1|-|x-2|min，也就转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值问题.|x+1|-|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,-3|x+1|-|x-2|3.|x+1|-|x-2|min=-3.a-3.答案：c问题探究问题：公路的两侧要修建一些加油站，两个加油站位于某城市东a km和b km处（ab)，一卡车从该城市出发，由于某种原因，他需要往返a、b两加油站，问他行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的？导思：这一个绝对值函数求最值的问题，可以把相关数据找到，写出关系式，利用绝对值不等式的性质来解.探究：设卡车行驶在距城市x km处，他到两加油站的路程之和为y(km).y=|x-a|+|x-b|. |x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x|(x-a)+(b-x