高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示成长训练 新人教A版必修1.doc

1.2 函数及其表示主动成长夯基达标1. 下列各组函数是否表示同一个函数?（1）f（x）x，g（x）=（x）2；（2）f1（x）=(x+2)2，f2（x）|x2|；（3）f（x）x22x1，g（t）t22t1；（4）y=x，y=思路解析：定义域和对应法则是确定函数的两个基本要素，两个函数是否相同取决于定义域和对应法则是否分别相同.答案：（1）f（x）x的定义域为r，g（x）=（）2的定义域为xx0，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数.（2）f1（x）=|x+2|，它与f2（x）x2的对应法则与定义域均相同，所以是同一个函数.（3）两函数的对应法则和定义域相同，而函数与表示函数的字母无关，所以表示同一函数.（4）两个函数，其中一个是分段函数，它的定义域为r，不管s0，s0，s0都有ys，对应法则和yx相同.因此这两个函数定义域和对应法则都相同，所以它们是相同的函数.2. 已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为f，g（x）=的定义域为g，那么集合f、g的关系是()a. f=gb. fgc. gfd. fg=g思路解析：函数的定义域是使函数思路分析式有意义的自变量的值.f=x|x22x30=x|x1或x3，g=x|0且x30=x|x1或x3，gf，选c.答案：c3. 设二次函数f(x)满足f(2+x)f(2-x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.思路解析：要求的函数是二次函数，一般可设其为f(x)ax2+bx+c(a0)，然后根据已知条件求出系数a、b、c，从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故可设函数f(x)a(x-2)2+k.答案：f(2+x)f(2-x)，f(x)的图象关于直线x=2对称.于是，设f(x)a(x-2)2+k(a0)，则由f(0)3，可得k3-4a，f(x)a(x-2)2+3-4aax2-4ax+3.ax2-4ax+30的两实根的平方和为10，10x12+x22(x1+x2)2-2x1x216-.a=1.f(x)(x-2)2-1x2-4x+3.4. 在下列5个对应中：f：nn *，x|x3|；f：nq，x2 x；f：1，2，3，4，5，64，3，0，5，12，xx（x4）；f：n1，1，x（1）x；f：平面m内的圆平面m内的三角形，圆圆内接三角形.其中是映射的有()a.2个b.3个c.4个d.5个思路解析：根据映射的定义易知：不是映射（因为3在n *中无象）；也不是映射（因为圆内接三角形不唯一），其余均是映射.答案：b5. 某城镇近20年常住人口y（千人）与时间x（年）之间的函数关系如下图.考虑下列说法：前16年的常住人口是逐年增加的；第16年后常住人口实现零增长；前8年的人口增长率大于1；第8年到第16年的人口增长率小于1.在上述四种说法中，正确说法的序号是.思路解析：由图知前16年中人口不断增加，但增长率小于1，16年后人口零增长.答案：6. 设f(x)则fff()的值为_ ，f(x)的定义域是_思路解析：10，f()2()2.而02，f().10，f()2()2因此fff()函数f(x)的定义域为x1x0x0x2xx2xx1且x0答案： xx1且x07. 求函数y=的值域.思路解析：此函数的分子与分母都是关于x的一次函数,因此可采用分离常数的方法求解.y=5+.0,y5,即函数值域为(-,5)(5,+).答案：(-,5)(5,+)8. 求函数y=的值域.思路解析：函数的解析式是分式,且分母中变量x的次数是二次的,所以函数式可化为关于x的一元二次方程.根据函数的定义,函数的定义域不是空集,所以此一元二次方程有实根,即0.我们称这种求值域的方法为“判别式法”.答案：将解析式改写成关于x的一元二次方程(y-1)x2+(2y+2)x-(3y+3)=0.当y1时,0,2y2+y-10y或y-1.当y=1时,x=在其定义域内，所以值域为(-,-1,+).走近高考9.已知函数f(x)=的定义域是r，则实数k的取值范围是()a. k0b. 0k4c. 0k4d. 0k-2x的解集为(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.思路解析：因为本题给出解析式特征，可采取待定系数法求解.解：(1)f(x)+2x0的解集为(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.因为方程有两个相等的根，所以=-(2+4a)2-4a59a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a0,舍去a=1.将a=-代入得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a0,可得f(x)的最大值为-.由,解得a-2-或-2+a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-,-2-)(-2+,0).13. 函数f(x)=的定义域为a，函数y=ff(x)的定义域为b，则()a. ab=bb. abc. ab=bd. a=b思路解析：此题的解题目标是确定两个集合的包含关系相等关系、子集关系，所以要先将两个集合表示出来.表示两个集合时，要注意根据题中分母不能为0的限制条件求出集合a，还要注意两个函数在对应法则上的联系，即y=ff(x)中的f(x)与f(x)中的x具有相同的取值范围.据此可以求出集合b.1-x0，x1,即a=（-，1）（1，+）.又y=ff(x)中的f(x)与f(x)中的x具有相同的取值范围，f(x)1,即1.解得x0且x1.b=（-，0）（0，1）（1，+）.ab=ab，因此a不正确.又集合a中的元素0在集合b中没有相对应的元素，集合a不是集合b的子集，当然ab.因此，b不正确，d也不正确.ab=b，因此c正确.答案：c14. 设f是从集合a到集合b的映射，下列四个说法：集合a中的每一个元素在集合b中都有元素与之对应；集合b中的每一个元素在集合a中也都有元素与之对应；集合a中不同的元素在集合b中的对应元素也不同；集合b中不同的元素在集合a中的对应元素也不同，其中正确的是()a b c d 思路解析：根据映射的定义，从集合a到集合b的映射f，只要求集合a的每一个元素在集合b中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合a中不同的元素在集合b中的对应元素可以相同，也没有要求集合b中的元素在集合a中都要有对应元素.符合映射的定义，正确；映射的定义不要求集合b中的元素在集合a中都要有对应元素，不正确；集合a中不同的元素在集合b中的对应元素可以相同，不正确；正确.如果集合b中不同的元素在集合a中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，和正确，因此，选d.答案：d15. 甲、乙两人同时从a地赶往b地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达b地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开a地的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象为()a. 甲是图，乙是图b. 甲是图，乙是图c. 甲是图，乙是图d. 甲是图，乙是图答案：b16.设二次函数f(x)=ax2bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4，求a、b、c的值.思路解析：此题注意别被给出二次函数的解析式迷惑，可根据条件先合理选取二次函数的其他表示形式，最后应用比较系数法解决问题.答案：当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)a(x-3)210，且a0因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图象在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图象与x轴交点的横坐标分别是1、5因此，二次函数又可写成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，a=-，所以f(x)=- (x-3)2+10=-x2+15x-.因此，a=-,b=15,c=-.17. 已知xy0，并且4x2-9y2=36由此能否