高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式课后导练 新人教A版选修45.doc

1.2.1 绝对值三角不等式课后导练基础达标1已知|a+b|=|a|+|b|,a、br,则一定有( )a.ab0c.ab0 d.ab=0解析:由|a+b|=|a|+|b|,得(a+b)2=(|a|+|b|)2.a2+b2+2ab=a2+b2+2|ab|,即|ab|=ab.ab0.答案:c2若|a-c|b|,且a、b、c均为不等于零的实数,则下列不等式成立的是( )a.ac-bc.|a|b|c|解析:|a-c|a|-|c|,|b|a-c|a|-|c|.|a|b|+|c|.答案:c3已知函数f(x)=-2x+1,对任意实数,使得|f(x1)-f(x2)|的一个充分但不必要的条件是( )a.|x1-x2| b.|x1-x2|c.|x1-x2|解析:|f(x1)-f(x2)|=|-2x1+2x2|=2|x1-x2|,若|x1-x2|,则|f(x1)-f(x2)|.而|f(x1)-f(x2)|x1-x2|0 d.ab0解析: 1故a0且b0,a2+b20.应选b.答案:b5|a|1,|b|1,a、br,那么|a+b|+|a-b|与2的大小关系是_-.解析:不妨设|a|b|,则(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|=2(a2+b2)+2a2-2b2=4a24.|a+b|+|a-b|2.答案:|a+b|+|a-b|2综合应用6不等式|2x-log2x|2x+|log2x|成立,则x的取值范围为_.解析:|a+b|a|+|b|取不等号“”的条件是ab0,原不等式等价于2x(-log2x)0.x1.x的取值范围为x|x1.答案:x|x17已知函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、cr),当x-1,1时,|f(x)|1.(1)证明|b|1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.(1)证明:x-1,1时,|f(x)|1,|f(-1)|1,|f(1)|1.而b=(a+b+c)-(a-b+c)=f(1)-f(-1),|b|=|f(1)-f(-1)|f(1)|+|f(-1)|=1.(2)解析:f(0)=c=-1,f(1)=a+b-1=1,b=2-a.f(x)=ax2+(2-a)x-1.x-1,1时,|f(x)|1,|f(-1)|1,即|2a-3|1.1a2.f(x)的对称轴x=-,0-1,1.|f()|1,整理得|+1|1.注意到a0,0.+11.=0.a=2.8(1)设p、q、xr,pq0,x0,求证:|px+|.(2)设m是|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:|m|a|,|x|m|b|,|x|m1,就有|x|2|b|,|=0,求证:|a+b|2(1+c)|a|2+(1+)|b|2.证明:(1)观察要证的不等式的左、右端,可以发现应用不等式|a-b|a|-|b|的可能性.=(|a|+|b|)=|a|-|b|(1+)|a|-|b|a|-|b|.原不等式成立.(2)右式=|a|2+|b|2+c|a|2+|b|2|a|2+|b|2+=(|a|+|b|)2|a+b|2=左边,原不等式成立.拓展探究10对定义在-1,1上的函数f(x),若存在常数a0,使得对任意x1、x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|a|x1-x2|,则称f(x)具有性质l.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)=|是否具有性质l?试证明之.思路分析:要确定一个函数具有性质l,其关键是要能找到满足题设条件中的常数a,而要确定一个函数不具有性质l,则一般需通过反证法来证明或寻找一个反例.解析:(1)对于f(x)=x2+3x+5,任取x1、x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22+3(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+3)|=|x1-x2|x1+x2+3|x1-x2|(|x1|+|x2|+3)5|x1-x2|.存在a=5,使f(x)具有性质l.(2)对于g(x)=,设它具有性质l,任取x1、x20,1,则|g(x1)-g(x2)|=|-|=a|x1-x2|,a,2.(0,2.取x1=1,x2=,有,与矛盾,故g(x)=不具有性质l.备选习题11已知f(x)=-x2,x0,1,对于x1、x20,1,则|f(x1)-f(x2)|的最大值为_解析:画出函数y=-x2的图象,在x0,1上,函数单调递减.f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(1)=0-1,|f(x1)-f(x2)|的最大值为1.答案:112已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,|f(x)|1.(1)证明|c|1;(2)证明当-1x1时,|g(x)|2.证明:(1)-1x1时,|f(x)|1,|c|=|f(0)|1.(2)注意到x=()2-()2,可得g(x)=ax+b=a()2-()2+b(-)+(c-c)=a()2+b()+c-a()2+b()+c=f()-f().当-1x1时,有01,-10,|f()|1,|f()|1.于是|f()-f()|f()|+|f()|2,即|g(x)|2.13已知函数f(x)=x2-1(x1)的图象是c1,曲线c2与c1关于直线y=x对称.(1)求曲线c2的方程y=g(x);(2)设函数y=g(x)的定义域为m,x1、x2m且x1x2,求证:|g(x1)-g(x2)|x1-x2|;(3)设a、b是曲线c2上任意不同两点,证明直线ab与直线y=x必相交.解析:(1)由题设易知y=g(x)与y=f(x)互为反函数,所以g(x)=(x0).(2)设x10,x20,且x1x2,则有|g(x1)-g(x2)|=|= |x1-x2|.(3)设a(x1,y1)、b(x2,y2)是曲线c2上任意不同两点(x1x2),则|kab|=n时,求证:|am-an|.证明:(1)cos1cos2cosn+sin1sin2sinn|cos1cos2cosn|+|sin1sin2sinn|cos1|+|sin1|=,m的最小值为.(2)|sin(x1+x2+x3)|=|sin(x1+x2)+x3|=|sin(x1+x2)cosx3+cos(x1+x2)sinx3|sin(x1+x2)cosx3|+|cos(x1+x2)sinx3|sin(x1+x2)|+|sinx3|sinx1|+|sinx2|+|sinx3|.(3)|am-an|=|+|+|+|=15已知|lga-lgb|1,求证:.证明:不难证