高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理学案 新人教B版必修5.doc

1.1.2余弦定理1理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形2掌握三角形的面积公式3能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题1余弦定理公式表达语言叙述推论a2_三角形任何一边的平方等于_cos a_b2_cos b_c2_cos c_(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的【做一做11】在abc中，ab1，bc2，b60，则ac的长为_【做一做12】在abc中，a2c2b2ab，则c_.2余弦定理的应用(1)利用余弦定理判断三角形的形状由余弦定理，当边c为最大边时，如果c2a2b2，则abc为_三角形；如果c2a2b2，则abc为_三角形；如果c2a2b2，则abc为_三角形(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题已知三边，_；已知两边和它们的夹角，求_和其他_；已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知a，b，a，可先用余弦定理_，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60或最小角大于60，可知三角形无解【做一做21】在abc中，若sin asin bsin c234，则该三角形的形状为()a直角三角形b等边三角形c锐角三角形 d钝角三角形【做一做22】在abc中，已知c2acos b，则abc的形状为_三角形3三角形的面积公式(1)saha(ha表示a边上的高)；(2)sabsin c_；(3)sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)；(4)s(其中p(abc)【做一做31】在abc中，角a，b，c的对边边长分别为a，b，c，且a1，b45，sabc2，则c_.【做一做32】已知三角形的周长为12，内切圆的半径为1，则sabc_.一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3)已知两边和它们的夹角，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角(4)已知三角形的三边，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角二、教材中的“？”在abc中，令c，b，a，你能通过计算|a|2aa证明余弦定理吗？剖析：如图所示，|a|2aaa2()()22222|cos a2b2c22bccos a，即a2b2c22bccos a同理可证b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决(1)坐标法：如图所示，以a为坐标原点，ac所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则a，b，c的坐标分别为a(0,0)，b(ccos a，csin a)，c(b,0)，根据两点间的距离公式，得a|bc|，a2c2cos2a2bccos ab2c2sin2a，即a2b2c22bccos a同理可得b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c(2)(用正弦定理证明)因为a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，所以b2c22bccos a4r2(sin2bsin2c2sin bsin ccos a)4r2sin2bsin2c2sin bsin ccos (bc)4r2(sin2bsin2c2sin2bsin2c2sin bsin ccos bcos c)4r2sin2b(1sin2c)sin2c(1sin2b)2sin bsin ccos bcos c4r2(sin2bcos2c2sin bsin ccos bcos csin2ccos2b)4r2sin2(bc)4r2sin2aa2.同理可证b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c题型一 用余弦定理解三角形【例1】在abc中：(1)a1，b1，c120，求c；(2)a3，b4，c，求最大角；(3)abc12，求a，b，c分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，x,2x.反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征(2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出a，进而求出其余两角另外也可由边长关系，判断出c为直角，再求角题型二 判断三角形的形状【例2】在abc中，已知(abc)(bca)3bc，且sin a2sin bcos c，试确定abc的形状分析：利用余弦定理先求出a60，再根据三角变换公式求得bc反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么统一为边的关系，要么统一为角的关系再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论(3)常见结论：设a，b，c分别是abc的角a，b，c的对边，若a2b2c2，则c90；若a2b2c2，则c90；若a2b2c2，则c90；若sin 2asin 2b，则ab或ab.题型三 三角形的面积公式的应用【例3】在abc中，a，b，c的对边分别是a，b，c，且.求：(1)b的大小；(2)若b，ac4，求abc的面积分析：先由余弦定理求出b，再结合条件列方程求出ac，利用面积公式求出abc的面积反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用题型四 正、余弦定理的综合应用【例4】(2011山东高考)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos b，b2，求边a.分析：(1)利用正弦定理及三角变换公式对已知等式进行化简即可；(2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的结论即可求出a.反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤其在边角转化方面功能显著余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出有效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到题型五 易错辨析【例5】在锐角abc中，b1，c2，则a的取值范围是()a1a3 b1aca d不确定错解：由三角形的性质，知cba，得a1.又a为锐角，从而cos a0，得0a.所以1a.故选b错因分析：上述解法忽视了三角形三个内角的关系，即abc180，cos a0只能推出a为锐角，而不能推出abc一定为锐角三角形，因为abc180，所以当abc为锐角三角形时，不仅cos a0，还必须满足cos b0，cos c0.【例6】在abc中，已知a2，b2，c15，求a错解：由余弦定理，得c2a2b22abcos c4822284，所以c.又由正弦定理，得sin a.因为0a180，所以a30或150.错因分析：没有注意到ba这一隐含条件，致使增解1在abc中，bcos aacos b，则三角形的形状为()a直角三角形 b锐角三角形c等腰三角形 d等边三角形2在abc中，已知三边a，b，c满足(abc)(abc)3ab，则c等于()a15 b30c45 d603在abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，如果bc2，a60，abc的面积为，那么a为()a bc10 d64在abc中，ab3，bc，ac4，则sin a_.5(2012北京昌平高三一模)在abc中，cos 2acos2 acos a(1)求角a的大小；(2)若a3，sin b2sin c，求sabc答案：基础知识梳理1b2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍【做一做11】由余弦定理，得ac21222212cos 603.ac.【做一做12】602(1)直角锐角钝角(2)求三个角第三边两个角a2b2c22bccos a【做一做21】d【做一做22】等腰3(2)bcsin aacsin b【做一做31】4【做一做32】6典型例题领悟【例1】解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos c1212211()3，c.(2)显然c最大cos c，c120.(3)由于abc12，可设ax，bx，c2x.由余弦定理，得cos a，a30.同理cos b，cos c0，b60，c90.【例2】解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc.而a2b2c22bccos a，2cos a1.cos aa60.又sin asin (bc)sin bcos ccos bsin c，sin a2sin bcos c，sin bcos ccos bsin c0，即sin (bc)0，bc.又bc120，abc60.故abc为等边三角形【例3】解：(1)，整理，得a2c2b2ac，cos b，从而b120.(2)由(1)得a2c2ac13.又ac4，a2c22ac16.由，得ac3，sabcacsin b3sin 120.【例4】解：(1)由正弦定理，得a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，所以，即sin bcos a2sin bcos c2sin ccos bsin acos b，即有sin (ab)2sin (bc)，即sin c2sin a，所以2.(2)由(1)知2，即c2a，又因为b2，所以由余弦定理，得：b2a2c22accos b，即224a2a22a2a，解得a1.【例5】c正解：由三角形的性质，知cba，得a1.又由cos a0，得0a.由cos b0，得ar.由cos c0，得a.综上，知a.【例6】正解：由余弦定理，得c2a2b22abcos c84，所以c.又由正弦定理，得sin a.因为