高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数 3.2.3 两角和与差的正切函数学案 北师大版必修4.doc

3.2.3两角和与差的正切函数学习目标重点难点1能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并记住这两个公式2掌握两角和与差的正切公式及其变形形式3掌握两角和与差的正切公式及其变形在三角函数式的求值、化简、证明中的应用，提高对三角恒等式变形的能力.重点：两角和与差的正切公式及其变形在三角函数式的求值、化简、证明中的应用难点：两角和与差的正切公式的正用、逆用和变形用疑点：在求值、化简问题中有关角的变换问题，特别是在求角时如何缩小角的范围问题.两角和与差的正切公式(1)两角和的正切：tan()_(t)(2)两角差的正切：tan()_(t)公式t的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan()，右侧是分式，分子是tan 与tan 的和或差，分母是1与tan tan 的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”预习交流1在公式t中，的使用范围是什么？预习交流2两角和与差的正切公式的变形有哪些？预习交流3(1)若tan 3，tan ，则tan()等于()a3 b c3 d.(2)若tan3，则tan ()a2 b c. d2(3)_.(4)_.答案：(1)(2)预习交流1：提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，以及都不能等于k(kz)，例如tan，tan都有意义，但tan无意义预习交流2：提示：两角和与差的正切公式的常见变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)1tan tan ；(3)tan tan tan tan tan()tan()；(4)tan tan 1.这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan tan 和tan tan 时，就要有灵活运用公式t的变形形式的意识预习交流3：(1)d(2)b(3)(4)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1公式的直接应用已知sin()，tan ，并且是第二象限角，求tan()的值思路分析：首先利用诱导公式求出sin ，再求出cos ，进而求出tan ，最后利用t求解已知tan ，cos ，(0，)求tan()，tan()的值对于这类给值求值题，解答的关键在于先用公式t分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知进行转化解题过程中需多加注意角的范围，必要时可拆分角2公式的逆用与变形用求值：(1)tan 10tan 50tan 10tan 50；(2)；(3)已知tan()，tan，求tan.思路分析：注意到105060，而tan 60，故联想到tan(1050)的展开形式，并变形可解决(1)；在第(2)题中可将替换为tan 60，再解答；(3)注意到()，利用t即可解决求值：(1)tan 23tan 37tan 23tan 37；(2).对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用是恒等变换的基本要求，数学的特点是“多想点就少算点”，因此注意观察式子的结构特点并注意特殊值的代换、角的变换等技巧可使运算简捷例如，“1tan 45，tan 60”等3利用公式求角已知tan()，tan ，(0，)，求2的值思路分析：先利用角的变换()可以直接利用公式求出tan 的值再根据求出的tan 的值，再次变换角2()，然后求值，定范围找角角，(0)的终边与单位圆分别交于a，b两点，已知a，b的横坐标分别为，.试求：(1)tan()；(2)2.求角问题中应特别关注的问题：(1)角的变换前面学习s，c的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式t，如2()，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数(3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此，角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素4公式的综合应用在abc中，已知tan a与tan b是方程2x29x130的两个根，求tan c的值思路分析：先利用三角形的内角和将角c用角a和角b表示出来，tan ctan(ab)tan(ab)，然后用韦达定理求tan atan b，tan atan b，最后求tan c.已知，且tan ，tan 是方程x23x40的两个根，求的值公式t与一元二次方程的联系：在两角和的正切公式t中，有tan tan 和tan tan 这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点因此tan 、tan 可以看作一元二次方程的根，这样tan tan 、tan tan 、tan tan 就可以互相表示，进而可以利用它们求tan()答案：活动与探究1：解：sin()sin ，sin .又是第二象限角，cos .tan .又tan ，tan()2.迁移与应用：解：(0，)，cos ，sin .tan 2.tan()7.tan()1.活动与探究2：解：(1)tan(1050)，tan 10tan 50tan 10tan 50.tan 10tan 50tan 10tan 50.(2)tan(6015)tan 451.(3)tantan.迁移与应用：解：(1)tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37.tan 23tan 37tan 23tan 37.(2)原式tan(10545)tan 60.活动与探究3：解：因为tan ，tan()，所以tan tan().tan(2)tan()1.因为tan 0，tan 0，所以，(，0)又tan()0，所以，2()(，0)而tan(2)1，所以2.迁移与应用：解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，0，cos ，cos .因为为锐角，故sin 0，从而sin ，同理可得sin ，因此tan 7，tan .所以tan()3.(2)tan(2)tan()1.又0，22，得2.活动与探究4：解：由题意知tan ctan(ab)tan(ab).迁移与应用：解：tan ，tan 是方程x23x40的两个根，tan().又由可知tan 0，tan 0.又，故，.从而(，0)，.1tan(165)的值是()a2 b2c2 d22已知，sin ，则tan等于()a. b7 c d73(2012吉林实验中学高三模拟，3)的值是()a. b. c. d4(2012重庆高考，理5)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为()a3 b1 c1 d35在abc中，cos a，tan b2，求tan c的值答案：1b解析：原式tan(18015)tan 15tan(4530)2.2a解析：，sin ，cos ，tan .tan.3d解析：原式tan(1545)tan 60.4a解析：因