高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理互动课堂学案 新人教A版选修41.doc

四直角三角形的射影定理互动课堂重难突破一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-1，ab在ac上的射影是线段ac；bc在ac上的射影是点c；ac、bc在ab上的射影分别是ad、bd，这样，rtabc中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(ac、bc)，斜边(ab)，斜边上的高(cd)，两条直角边在斜边上的射影(ad、bd).图1-4-1二、直角三角形的射影定理由于角的关系，图1-4-1中，三个直角三角形具有相似关系，于是rtabc的六条线段之间存在着比例关系.acdcbd,有=，转化为等积式即cd2=adbd；acdabc,有=，转化为等积式即ac2=abad；bcdbac,有=，转化为等积式即bc2=babd.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-2，在rtabc中，acb90，cd是ab上的高.已知ad 4，bd 9，就可以求cd、ac.由射影定理，得cd2=adbd=4936.因为边长为正值，所以cd 6,ac2=adab=4(49)52.所以ac213.我们还可以求出bc、ab，以及abc的面积等.图1-4-2三、刨根问底问题1在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-2，在rtabc中，acb90，那么ac2+bc2=ab2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？探究:如图1-4-2，在rtabc中，acb90，cd是ab上的高.应用射影定理，可以得到ac2bc2adab +bdab=(ad +bd)ab =ab2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题2几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形,这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门吗？能举例说明吗？探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路,这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图1-4-3(c)中，求证:cfca=cgcb.(2)在图1-4-3(a)中，求证:fgbc=cebg.(3)在图1-4-3(d)中，求证:cd3=afbgab；bc2ac2=cffa;bc3ac3=bgae.就可以这样来思考:在第(1)题中，观察图形则发现分别使用cd2=cfca和cd2=cgcb即可得到证明.第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证fgbc=cebg，只需证=，而这四条线段分别属于bfg和bec，能发现这两个三角形存在公共角ebc，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.图1-4-3或者在图1-4-3(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“rtbde中dgbe”及“rtbdc中dfbc”，在两个三角形中分别使用射影定理中的bd2进行代换，得到bgbe =bfbc，化成比例式后，可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角ebc的bfg和bec相似.你可以来尝试分析第(3)小题.活学巧用【例1】直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为5和3,则两条直角边的长分别为()a.3和5b.9和25c.40和24d.和思路解析:直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为5和3,直接应用“射影定理”可求出两直角边的长分别为和.答案:d【例2】如图1-4-4(a)中，cd垂直平分ab，点e在cd上，dfac，dgbe，f、g分别为垂足.求证:afac=bgbe.思路解析:将图1-4-4(a)分解出两个基本图形1-4-4(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图1-4-4(b)和(c)中的射影定理:afac=ad2，bgbe =db2，通过代换线段的平方(ad2=db2)就可以证明所要的结论.图1-4-4证明:cd垂直平分ab，acd和bde均为直角三角形，并且ad =bd.又dfac，dgbe，afac =ad2，bgbe =db2.ad2=db2,afac=bgbe.【例3】如图1-4-5，在abc中，cdab于d，deac于e，dfbc于f，求证:cefcba.图1-4-5思路解析:要证明cefcba，题设已具备了bca =ecf，再找出一对角相等变得不容易，因此，考虑证明bca与ecf的夹边成比例，即=，即证ceca =cfcb，再从已知出发考虑问题，在rtadc中，deac，根据定理能推出cd2=ceca，同理可得cd2=cfcb,这样，ceca =cfcb就能得证.证明:adc是直角三角形，deac，cd2=ceca.同理可得cd2=cfcb.ceca =cfcb,即=.又bca =ecf，cefcba.【例4】如图1-4-6，已知rtabc中,acb =90，cdab于d，deac于e，dfbc于f.求证:aebfab=cd3.图1-4-6思路解析:分别在三个直角三角形rtabc、rtadc、rtbdc中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.证明:rtabc中,acb=90，cdab，cd2=adbd.cd4=ad2bd2.又rtadc中，deac，rtbdc中，dfbc，ad2=aeac，bd2=bfbc.cd4=aebfacbc.又acbc =abcd，cd4=aebfabcd.aebfab=cd3.【例5】如图,已知ad为abc的高,垂足为d,deab于e,dfac于f,求证: =.