高中数学 专题1.3.2 函数的极值与导数教案 新人教A版选修22.doc

函数的极值与导数【教学目标】1了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件【教法指导】本节学习重点：掌握函数极值的判定及求法本节学习难点：掌握函数在某一点取得极值的条件【教学过程】复习引入 在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.探索新知探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？结论思考1中点d叫做函数yf(x)的极小值点，f(d)叫做函数yf(x)的极小值；点e叫做函数yf(x)的极大值点，f(e)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值思考2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个思考3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明答可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x0时均有f(x)0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点思考4函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有_个极小值点【答案】1例1求函数f(x)x34x4的极值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0，得x2；由f(x)0，得2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增由表可知：当x2时，f(x)有极大值f(2)；当x2时，f(x)有极小值f(2).反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值跟踪训练1求函数f(x)3ln x的极值解函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减3单调递增因此，当x1时，f(x)有极小值f(1)3.探究点二利用函数极值确定参数的值思考已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在r上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.反思与感悟(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性跟踪训练2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程组得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且函数f(x)ln xx2x的定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0；所以，x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)x36x5，xr.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2) 由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示 所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3若函数f(x)2x36xk在r上只有一个零点，求常数k的取值范围f(x)在(，1)和(1，)上是单调增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)或即k4.k的取值范围是(，4)(4，)课堂提高1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件【答案】b【解析】对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立故选b.2函数y13xx3有()a极小值2，极大值2b极小值2，极大值3c极小值1，极大值1d极小值1，极大值3【答案】d当x1时，函数有极小值，y极小1.当x1时，函数有极大值，y极大3.3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()a1个 b2个c3个 d4个【答案】a【解析】由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点4下列函数中，x0是极值点的是()ayx3 bycos2xcytanxx dy【答案】b【解析】ycos2x，ysin2x，x0是y0的根且在x0附近，y左正右负，x0是函数的极大值点 5求下列函数的极值：f(x)；【解析】函数的定义域为(，1)(1，)f(x)，令f(x)0，得x11，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增3单调递增故当x1时，函数有极大值，并且极大值为f(1)，无极小值6设函数f(x)ax3bx2cx，在x1和x1处有极值，且f(1)