高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案 新人教A版选修44.doc

一平面直角坐标系1回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用2通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_、曲线与_建立了联系，从而实现了_的结合(2)坐标法：根据几何对象的_，选择适当的坐标系，建立它的_，通过_研究_及_(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_元素，将几何问题转化成_问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论【做一做11】 已知平面内三点a(2,2)，b(1,3)，c(7，x)，且满足，则x的值为()a3 b6 c7 d9【做一做12】 设平行四边形abcd的顶点为a(0,0)，b(0，b)，c(a，c)，则第四个顶点d的坐标是()a(a，bc) b(a，bc)c(a，cb) d(a，bc)【做一做13】 已知平行四边形abcd，求证：ac2bd22(ab2ad2)2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为_伸缩变换，这就是用_研究_变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点p(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换_的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换【做一做21】 如何由正弦曲线ysin x经伸缩变换得到ysinx的图象()a将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的b将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍c将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍d将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的【做一做22】 将正弦曲线ysin x作如下变换：得到的曲线方程为()ay3sinx bysin 2xcysin 2x dy3sin 2x答案：1(1)坐标(有序实数对)方程数与形(2)特征方程方程它的性质与其他几何图形的关系(3)几何代数【做一做11】 c(1，1)，(5，x2)，5(x2)0.x7.【做一做12】 c设d(x，y)，由题意，即(0，b)(ax，cy)，xa，ycb.顶点d的坐标为(a，cb)【做一做13】 证明：以边ab所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xoy，则a(0,0)设b(a,0)，c(b，c)，则由对称性知d(ba，c)，ab2a2，ad2(ba)2c2，ac2b2c2，bd2(b2a)2c2.ac2bd24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，而ab2ad22a2b2c22ab，ac2bd22(ab2ad2)2(1)坐标代数方法几何(2)：【做一做21】 d【做一做22】 d建立平面直角坐标系的方法剖析：一般情况下，有如下建立平面直角坐标系的方法：(1)当题目中有两条互相垂直的直线时，以这两条直线为坐标轴，建立平面直角坐标系；(2)当题目中有轴对称图形时，以轴对称图形的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系；(3)当题目中有已知长度的线段时，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点，建立平面直角坐标系在建立平面直角坐标系时，应使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上平面直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件题型一 用平面直角坐标系解决实际问题【例1】 如图所示，a，b，c是三个观察站，a在b的正东，两地相距6 km，c在b的北偏西30，两地相距4 km，在某一时刻，a观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后b，c两个观察站同时发现这种信号，在以过a，b两点的直线为x轴，以ab的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的p的坐标分析：由题意可知，点p所在的位置满足两个条件：(1)在线段bc的垂直平分线上，(2)在以a，b为焦点的双曲线上反思：合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确题型二 平面直角坐标系下的轨迹问题【例2】 abc的顶点a固定，点a的对边bc的长是2a，边bc上的高的长是b，边bc沿一条直线移动，求abc外心的轨迹方程反思：在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上，还要注意：(1)选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量；(2)要注意给出曲线图形的范围，在限定范围的基础上求曲线方程如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求，确定出x，y的取值范围，则最后的结论是不完备的题型三 平面直角坐标系下的伸缩变换【例3】 在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换后，圆x2y21变成了什么曲线？分析：将伸缩变换中的x，y分别用x，y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型题型四 易错辨析【例4】 在平面直角坐标系中，求方程xy20所对应的图形经过伸缩变换后的图形错解：直线x8y40.答案：【例1】 解：设点p的坐标为(x，y)，则a(3,0)，b(3,0)，c(5,2)因为|pb|pc|，所以点p在bc的中垂线上因为kbc，bc的中点d(4，)，所以直线pd的方程为y(x4)又因为|pb|pa|4，所以点p必在以a，b为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得x8或x(舍去)，所以y5.所以点p的坐标为(8,5)【例2】 解：以边bc所在的定直线为x轴，过a作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点a的坐标为(0，b)设abc的外心为m(x，y)取bc的中点n，则mnbc，即mn是bc的垂直平分线|bc|2a，|bn|a，|mn|y|.又m是abc的外心，|ma|mb|.又|ma|，|mb|，化简，得所求的轨迹方程为x22byb2a20.【例3】 解：代入圆的方程x2y21，得(x)2(y)21，1.经过伸缩变换后，圆x2y21变成了椭圆1.【例4】 错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x，y)的坐标适合变换后的曲线方程错解混淆了(x，y)和(x，y)的含义正解：由坐标伸缩变换得代入xy20，得2xy20，8xy80.经过伸缩变换后，直线xy20变成直线8xy80.1点p(1，2)关于点a(1,1)的对称点p的坐标为()a(3,4) b(3,4) c(3，4) d(3，4)2已知点a(1,3)，点b(3,1)，点c在坐标轴上，acb90，则满足条件的点c的个数是()a1 b2 c3 d43在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线c变为曲线x2y21，则曲线c的方程为()a25x29y21 b9x225y21c25x9y1 d.14已知函数f(x)则f(x)的最小值为_5在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y28x120变成曲线x2y24x30，求满足条件的伸缩变换答案：1b2c若点c在x轴上可设点c的坐标为(x,0)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2，有(13)2(31)2(x1)232(x3)21，解得x10，x22.点c的坐标为(0,0)或(2,0)若点c在y轴上可设点c的坐标为(0，y)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2，有(13)2(31)2(01)2(y3)2(03)2(y1)2，解之得y10，y24.点c的坐标为(0,0)或(0,4)故满足条件的点c的个数为3.3a将伸缩变换代入x2y21，得25x29y21.4f(x)可看作