高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率导学案 北师大版选修11.doc

3.1 变化的快慢与变化率学习目标1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？答案(1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然.思考2怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案(1)自变量的增量：用x表示，即xx2x1，表示自变量相对于x1的“增加量”.(2)函数值的增量：用y表示，即yf(x2)f(x1)，也表示为f(x1x)f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.梳理平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.(4)几何意义：已知p1(x1，f(x1)，p2(x2，f(x2)是函数yf(x)图像上的两点，则平均变化率表示割线p1p2的斜率.知识点二瞬时变化率思考1物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为ss(t)，可先求物体在(t0，t0t)内的平均速度，然后t趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度.类型一函数的平均变化率命题角度1求函数的平均变化率例1求函数yf(x)x2在x1，2，3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2v乙b.v甲v乙c.v甲v乙d.大小关系不确定(2)过曲线yf(x)图像上一点(2，2)及邻近一点(2x，2y)作割线，则当x0.5时割线的斜率为 .答案(1)b(2)解析(1)设直线ac，bc的斜率分别为kac，kbc，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kac，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kbc.因为kackbc，所以v甲0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为sv0tgt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度.解因为sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt.当t趋于0时，趋于v0gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0gt0.反思与感悟(1)求瞬时速度的步骤求位移改变量ss(t0t)s(t0)；求平均速度v；当t趋于0时，平均速度趋于瞬时速度.(2)求当x无限趋近于0时的值在表达式中，可把x作为一个数来参加运算；求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可.跟踪训练3一质点m按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点m在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.解质点m在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率.质点m在t2附近的平均变化率4aat，当t趋于0时，趋于4a，4a8，得a2.1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数()a.在x0处的变化率b.在区间x0，x1上的平均变化率c.在x1处的变化率d.以上结论都不对答案b解析，由平均变化率的定义可知，故选b.2.一物体的运动方程是s32t，则在2，2.1这段时间内的平均速度是()a.0.4 b.2c.0.3 d.0.2答案b解析2.3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s4t216t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为()a.t1 b.t2c.t3 d.t4答案b解析设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，8t0164t，当t趋于0时，趋于8t016，令8t0160，解得t02.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 .答案解析y2313，球的体积平均膨胀率为.5.设函数f(x)3x22在x01，2，3附近x取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小.解函数在x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x01，x时，函数在1，1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当x02，x时，函数在2，2.5上的平均变化率为k26230.513.5；当x03，x时，函数在3，3.5上的平均变化率为k36330.519.5，所以k1k2k3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数yf(x)sin x，当x从变到时，函数值的改变量y等于()a. b. c. d.答案b解析yf()f()sin sin .2.一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1，1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()a.3 b.3 c.6 d.6答案d解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，当t趋于0时，3t6趋于6，故该质点在t1时的瞬时速度为6.3.如图，函数yf(x)在a，b两点间的平均变化率是()a.1 b.1c.2 d.2答案b解析依题意可知yybya132，xxbxa312，所以函数yf(x)在xa到xb之间的平均变化率为1.4.甲、乙两厂污水的排放量w与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是()a.甲 b.乙c.相同 d.不确定答案b解析在t0处，虽然w1(t0)w2(t0)，但是在t0t处，w1(t0t)w2(t0t)，即，所以在相同时间t内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂的治污效果较好.5.函数f(x)x2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()a.k1k2 c.k1k2 d.无法确定答案d解析k12x0x，k22x0x，而x可正可负，故k1、k2大小关系不确定.6.如果函数yf(x)axb在区间1，2上的平均变化率为3，则()a.a3 b.a3c.a2 d.a的值不能确定答案b解析a3.7.一个物体的运动方程是s2t2at1，该物体在t1时的瞬时速度为3，则a等于()a.1 b.0c.1 d.7答案a解析a42t，当t趋于0时，a42t趋于a4，由题意知a43，得a1.二、填空题8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为 .答案123解析1koa，2kab，3kbc，由图像知，koakab0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围.解函数f(x)在2，2x上的平均变化率为3x，由3x1，得x2.又x0，x的取值范围是(0，).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s求：(1)物体在t3，5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度.解(1)物体在t3，5内的时间变化量为t532，物体在t3，5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3，5内的平均速度为24 (m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t0