高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数的起源素材 北师大版必修1.doc

对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中以加（减）代乘（除）的想法早就存在了一个简单的三位数乘法（例如265438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（chuquet，?1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4， 等差 1，2，4，8，16， 等比或0，1，2，3，4， 等差 1，3，9，27，81， 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究 半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现”如48，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以48的结果是5所对应的等比数中的数32又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，32=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔（john naeipr，15501617）和瑞士的乔伯斯特布尔基（jobst brgi，15521632） 布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法他给出的等比数列相当于: 1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，（1.0001）104，其相应的等差数列是：0，0.0001，0.0002，0.0003，1，这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593，与自然对数的底e=2.718281828相差不远但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念因为他们都不是从ax=n的关系出发来定义对数x=logan的耐普尔原是苏格兰的贵族生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间1614年，耐普尔发表了他的关于奇妙的对数表的说明一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程他说：假定有两个质点p和q，分别沿着线段az和射线az以同样的初速运动，其中q保持初速不变，而p作减速运动，其速度与这个点离z的距离成正比，现在，如果当p位于某点b时，q位于b，那么，ab就是bz的对数！同样的ac是cz的对数，等等（图 1）建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出bz、cz、dz、ez、fz一系列数值为：，以及作为它们的对数的ab，ac，ad，ae，af，一系列数值为： 1，2，3，4，5，显然