高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数 3.1.1 指数函数名师导航学案 苏教版必修1.doc

3.1.1 指数函数名师导航知识梳理1.基础知识图表2.指数函数的定义 函数_(a0且a1)叫做指数函数.定义中对a0且a1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.(1)如果a=0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义；(2)如果a10a0时,y1x0时,0y0时,0y1,x1(-,+)上为增函数(-,+)上为减函数当x0时,底大图象高;x0时,底大图象低4.关于函数的图象和性质，需注意的几个问题(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x-,y0,当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快;当0a1)是增函数.证明：当a1时，任取x1、x2r,x1x1,a1, 1.又0, . .从而指数函数y=ax(a1)在r上是增函数.(4)注意几个熟悉的指数函数图象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象.疑难突破为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a0且a1？(1)若a=0，则当x0时，ax=0；当x0时，ax无意义. (2)若a0且a1.在规定以后，对于任何xr，ax都有意义，且ax0. 问题探究问题1 我们是怎么研究指数函数的性质的？探究思路：我们是通过研究指数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.问题2 在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：y=2x；y=5x；y=()x；y=()x.观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？探究思路：指数函数y=ax(a0且a1)恒过两个点(0，1)和(1，a).这四个函数都经过(0，1)，又分别经过(1，2)、(1，5)、(1，)、(1，).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图).根据图象可知函数与、与分别关于y轴对称.问题3 对于指数函数y=ax(a0且a1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象(如下图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.典题精讲例1 将三个数1.5-0.2，1.30.7，按从小到大的顺序排列.思路解析 先比较1.5-0.2即()0.2和的大小，考察指数函数y=()x，由于底数在区间(0，1)内，所以指数函数y=()x在(-，+)上是减函数.故由0.2=得1()0.2.另一方面，由于1.31，y=1.3x在(-，+)上是增函数，由0.70，得1.30.71.所以1.5-0.21.30.7.答案: 1.5-0.21.30.7.例2 求下列函数的定义域与值域：(1)y=；(2)y=()|x|；(3)y=4x+2x+1+1；(4)y=.思路解析 (1)因为指数函数y=2x的定义域为xr时，值域为y(0，+)；若x0，则y1；由于y=中的0，所以y20=1；所以所求函数的定义域是x|xr且x3，值域为y|y0且y1.(2)因为y=()|x|中的|x|0，所以xr，0y1.所以所求函数的定义域为r，值域为y|0y1.(3)将已知函数整理成y=4x+2x+1+1=(2x)2+2(2x)+1=(2x+1)2.由此可知定义域为r，值域为y|y1.(4)已知函数可化为y=，由0得x1；又由0，得y=1.所以定义域为x|x1，值域为y|y1.答案:(1)定义域为x|xr且x3，值域为y|y0且y1.(2)定义域为r，值域为y|0y1.(3)定义域为r，值域为y|y1.(4)定义域为x|x1，值域为y|y1.例3 若函数y=为奇函数，(1)确定a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域；(4)讨论函数的单调性.思路解析 先将函数化简为y=a-.解答:(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-=0，2a+=0.a=-.(2)y=-，2x-10.函数y=-的定义域为x|x0.(3)方法一：(逐步求解法)x0，2x-1-1.2x-10，02x-1-1或2x-10.-,-0时，f(x)1，且对任意的a、br，有f(a+b)= f(a)f(b).(1)证明f(0)=1；(2)证明对任意的xr，恒有f(x)0；(3)证明函数y=f(x)是r上的增函数.思路解析 本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.证明:(1)取a=b=0，则f(0)=f2(0).f(0)0，f(0)=1.(2)当x0时，f(x)10成立，当x0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，f(x)=0.xr时，恒有f(x)0.(3)证法一：设x10.f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1).x2-x10，f(x2-x1)1.又f(x1)0，f(x2-x1)f(x1)f(x1).f(x)是r上的增函数.证法二：也可以设x2=x1+t(t0)，f(x2)=f(x1+t)=f(x1)f(t)f(x1).或者设x11.又f(x1)0，f(x2)0，f(x2)f(x1).知识导学1.指数函数的底数 指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意底的范围,视不同情况给予不同的对待.2.指数函数的图象和性质(1)作指数函数图象的方法：一般用描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出指数函数的图象.(2)指数函数的图象和性质如下表所示：a10a10a0且a1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.因此指数函数的定义域为r，值域为(0,+).问题导思 函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.由此我们还能得出如下结论：(1)一般地，指数函数y=ax(a0且a1)与y=a-x(a0且a1)的图象关于y轴对称.(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).(3)(有界性)若a1，当x0时，y1；当x0时，0y1.若0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1. 另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0a1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.典题导考绿色通道 处理大小比较的问题的一般方法是：先和特殊值比，比方说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.典题变式 当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )a.1|a| b.|a|1 d.|a|答案:d绿色通道 求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下： 定义：函数y=f(u)(ua)，u=g(x)(xb，ua)，则y=fg(x)叫做由函数y=f(u)(ua)、u=g(x)(xb，ua)合成的复合函数，u叫中间变量，y=f(u)(ua)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(xb，ua)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(xb)求出的值域一定是a.典题变式 函数y=2|x|的值域是( )a.(0，1 b.1，+) c.(0，1) d.(0，+)解法一：y=2|x|=作出图象,观察得函数的值域为1，+).解法二：令u=|x|0，则y=2u20=1.答案:b绿色通道 本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.当x0时，2x为增函数，2x-1为增函数，为递减函数，-为增函数.y=-在(0，+)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u=g(x)，设函数y=fg(x)的定义域为集合a，如果在a或a的某个子区间上函数y=f(u)(称外层函数)与u=g(x)(称内层函数)单调性相同，则复合函数y=fg(x)在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y=fg(x)在该区间上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：若函数y=f(x)递增(减)，则y=-f(x)递减(增)；若函数y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则y=递减(增)；若函数y=f(x)递增(减)，则y=f(x)+k递增(减).典题变式 已知f(x)=+a为奇函数.(1)求a的值；(2)求函数的单调区间.解答:(1)f(-x)=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f(x)，由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，a=.(2)对于任意x10，x20，且x1x2，f(x1)-f(x2)=,当x1x2，1, 0；当0x1，1，1,f(x1)-f(x2)0.函数的单调递减区间为(-，0)，(0，+).黑色陷阱 本题容易出现以下错误：(1)误认为函数y=a2x+2ax-1在x-1，1上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.(2)令t=ax，x-1，1，不讨论0a1还是a1，就认为t的取值范围是a-1，a，由此作为外层函数的定义域引出错误.典题变式 要使函数y=1+2x+4xa在(-，1)上y0恒成立，求a的取值范围.解答:由1+2x+4xa0在x(-，1上恒成立，即a-=-()x-()x在(-，1上恒成立.又g(x)=-()x-()x在(-，1上的值域为(-，-，a-.绿色通道 本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x2)=f(x2-x1)+x1”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.典题变式 设函数f(x)是定义在r上的增函数，且f(x)0，对于任意x1、x2r，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).(1)求证：f(x1-x2)=；(2)若f(1)=2，解