高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学业分层测评 新人教B版选修2-1.doc

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()a4 b4 c5 d5【解析】，ab，ab282k0.k5.【答案】d2已知平面的一个法向量是(2，1,1)，则下列向量可作为平面的一个法向量的是()a(4,2，2) b(2,0,4)c(2，1，5) d(4，2,2)【解析】，的法向量与的法向量平行，又(4，2,2)2(2，1,1)，故应选d.【答案】d3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为()a.，4 b，4c.，2,4 d4，15【解析】，0，即352z0，得z4，又bp平面abc，则解得【答案】b4已知平面内有一个点a(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点p中，在平面内的是()a(1，1,1) bc. d【解析】对于b，则n(3,1,2)0，n，则点p在平面内【答案】b5设a是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点m构成的图形是()a圆 b直线 c平面 d线段【解析】m构成的图形经过点a，且是以n为法向量的平面【答案】c二、填空题6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知uv，uv36z0，z9.【答案】97已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_.【解析】由题意，知解得x64，y26，z17.【答案】(64，26，17)8若a，b，c是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_. 【导学号：15460076】【解析】因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)【答案】23(4)三、解答题9.如图3219，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：am平面bdf.图3219【证明】以c为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(，0)，b(0，0)，d(，0,0)，f(，1)，m.所以，(0, ，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面bdf的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为.所以n ，得n与共线所以am平面bdf.10底面abcd是正方形，as平面abcd，且asab，e是sc的中点求证：平面bde平面abcd.【证明】法一设abbccddaas1，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(0,0,0)，s(0,0,1)，e.连接ac，设ac与bd相交于点o，连接oe，则点o的坐标为.因为(0,0,1)，所以.所以oeas.又因为as平面abcd，所以oe平面abcd.又因为oe平面bde，所以平面bde平面abcd.法二设平面bde的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，所以即令x1，可得平面bde的一个法向量为n1(1,1,0)因为as平面abcd，所以平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)因为n1n20，所以平面bde平面abcd.能力提升1如图3220，在正方体abcda1b1c1d1中，以d为原点建立空间直角坐标系，e为bb1的中点，f为a1d1的中点，则下列向量中，能作为平面aef的法向量的是()图3220a(1，2,4)b(4,1，2)c(2，2,1)d(1,2，2)【解析】设平面aef的一个法向量为n(x，y，z)，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则a(1,0,0)，e，f.故，.所以即所以当z2时，n(4,1，2)，故选b.【答案】b2如图3221，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，bac90，abacaa11，d是棱cc1的中点，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点若点q在线段b1p上，则下列结论正确的是()图3221a当点q为线段b1p的中点时，dq平面a1bdb当点q为线段b1p的三等分点时，dq平面a1bdc在线段b1p的延长线上，存在一点q，使得dq平面a1bdd不存在dq与平面a1bd垂直【解析】以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得a1(0,0,0)，b1(1,0,0)，c1(0,1,0)，b(1,0,1)，d，p(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，.设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面a1bd的一个法向量为n(2,1，2)假设dq平面a1bd，且(1,2,0)(，2，0)，则，因为也是平面a1bd的法向量，所以n(2,1，2)与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在dq与平面a1bd垂直，故选d.【答案】d3.如图3222，四棱锥pabcd的底面abcd是边长为1的正方形，pd底面abcd，且pd1，若e，f分别为pb，ad中点，则直线ef与平面pbc的位置关系_图3222【解析】以d为原点，da，dc，dp所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则e，f，平面pbc的一个法向量n(0,1,1)，n，n，ef平面pbc.【答案】垂直4如图3223，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abcpad90，侧面pad底面abcd.若paabbcad.图3223(1)求证：cd平面pac；(2)侧棱pa上是否存在点e，使得be平面pcd？若存在，指出点e的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】因为pad90，所以paad.又因为侧面pad底面abcd，且侧面pad底面abcdad，所以pa底面abcd.又因为bad90，所以ab，ad，ap两两垂直分别以ab，ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设ad2，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得0，0，所以apcd，accd.又因为apaca，所以cd平面pac.(2)设侧棱pa的中点是e，则e