高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性例题与探究 北师大版选修22.DOC

高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.函数的导数与函数增减的速度之间的关系递增函数就是函数值随自变量的增大而增大,一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;递减函数就是函数值随自变量的增大而减小,一个函数减小得快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小越多,即平均变化率大,导数的绝对值也就大,从而导数的绝对值越大,函数增减的速度就越快.2.导数与函数的单调性的关系(1)f(x)0与f(x)为增函数的关系.f(x)0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0,f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f(x)0时,f(x)0与f(x)为增函数的关系.若将f(x)=0的根作为分界点,因为规定f(x)0,即去掉了分界点,此时f(x)为增函数,就一定有f(x)0.当f(x)0时,f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件.(3)f(x)0与f(x)为增函数的关系.f(x)为增函数,一定可以推出f(x)0,但反之不一定,因为f(x)0,即为f(x)0或f(x)=0.当函数在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数,函数不具有单调性.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件.高手支招4典例精析【例1】 (2006高考全国，理21) 已知函数f(x)=.(1)设a0,讨论y=f(x)的单调性;(2)若对任意x(0,1),恒有f(x)1,求a的取值范围.思路分析:(1)先找出使函数f(x)= 有意义的区间,然后求出函数f(x)的导数f(x),最后根据f(x)分区间讨论函数f(x)的单调性.(2)若要求出对任意x(0,1)恒有f(x)1时的a的取值范围,只需要利用函数的单调性在不同的a的取值范围内分别讨论即可.解:(1)f(x)的定义域为(-,1)(1,+).对f(x)求导数得f(x)=.当a=2时,f(x)=,f(x)在(-,0),(0,1)和(1,+)均大于0,所以f(x)在(-,1),(1,+)为增函数.当0a2时,f(x)0,f(x)在(-,1),(1,+)为增函数.当a2时,01,令f(x)=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x(-,)(,)(,1)(1,+)f(x)+-+f(x)f(x)在(-,),(,1),(1,+)上为增函数,f(x)在(,)上为减函数.(2)当0a2时,由(1)知:对任意x(0,1)恒有f(x)f(0)=1.当a2时,取x0=(0,1),则由(1)知:f(x0)f(0)=1,当a0时,对任意x(0,1),恒有1且e-ax1,得f(x)=e-ax1.综上所述,当且仅当a(-,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1.【例2】 设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-,0)和(1,+)上都是增函数,求a的取值范围.思路分析:先求出与函数f(x)对应的一元二次方程的判别式,然后分=0、0、0三种情况分别进行讨论.解:f(x)=3x2-2ax+(a2-1),其对应方程的判别式=4a2-12a2+12=12-8a2.(1)若=12-8a2=0,即a=,当x(-,)或x(,+)时,f(x)0,f(x)在(-,+)为增函数.所以a=满足要求.(2)若=12-8a20,恒有f(x)0,f(x)在(-,+)上为增函数,所以a2,即a(-,)(,+)也满足要求.(3)若=12-8a20,即a,令f(x)=0,解得x1=,x2=.当x(-,x1),或x(x2,+)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(x1,x2)时,f(x)0,f(x)为减函数.依题意x10且x21.由x10得a,解得1a.由x21得3-a,解得a,从而a1,).综上,a的取值范围为(-,+)1,),即a(-,1,).【例3】当x(0,)时,证明：tanxx.思路分析:首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.证明:设f(x)=tanx-x,x(0,).f(x)=tan2x0.f(x)在(0,)上为增函数.又f(0)=0且f(0)=0,当x(0,)时,f(x)f(0)恒成立,即tanx-x0.tanxx.【例4】(2006高考全国，理20)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围.思路分析:依据f(x)ax,可以设出一新函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,再求出其单调区间,然后利用其单调区间内函数的单调性讨论实数a的取值范围.解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1,(i)当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,+)上是增函数,又g(0)=0,所以对所有x0,都有g(x)g(0),即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax.(ii)当a1时,对于0xea-1-1,g(x)0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,又g(0)=0,所以对0xea-1-1,都有g(x)g(0),即当a1时,不是对所有的x0,都有f(x)ax成立.综上,a的取值范围是(-,1.解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立.对函数g(x)求导数:g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0,解得x=ea-1-1,当xea-1-1时,g(x)0,g(x)为增函数,当-1xea-1-1,g(x)0,g(x)为减函数,所以对所有x0都有g(x)g(0)成立的充要条件为ea-1-10.由此得a1,即a的取值范围是(-,1.【例5】(2007陕西高考，理11) f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有（ ）a.af(b)bf(a) b.bf(a)af(b)c.af(a)f(b) d.bf(b)f(a)思路分析:本题运用了三个知识点：(1)复合函数的求导法则；(2)导函数的正负对原函数单调性的影响；(3)不等式的传递性.xf(x)+f(x)0,f(x)0.f(x)单调递减.,即af(b)bf(a).答案:a高手支招5思考发现1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义区间内的不可导点.3.利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数f(x),通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(