高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学案 新人教B版选修2-1.doc

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学三点剖析一、直线的方向向量 【例1】 已知点a(1,3,0),b(2,4,3)以的方向为正向,建立数轴,试求点p,使得 =13.思路分析：求点p,不妨先设p(x,y,z)再利用条件构造等式.解：设p(x,y,z)，由已知=3，=3()，4=+3，=+，(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)=(,).x=,y=,z=,即点p(,).温馨提示 求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解.二、平行与垂直【例2】已知三棱锥oabc中，oa=ob=1，oc=2，oa，ob，oc两两垂直，如何找出一点d，使bdac，dcab？思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(0,1,0),c(0,0,2),设所求点d(x,y,z).由bdac,dcab,因此即d点的坐标为(-1,1,2).温馨提示 将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.三、角和距离问题【例3】 如下图,sa面abc,abbc,sa=ab=bc,求异面直线sc与ab所成角的余弦值.思路分析:可先建立空间直角坐标系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.解:以点a为坐标原点,ac为y轴的正向建立空间直角坐标系.设sa=ab=bc=a,则b(a,a,0),c(0,a,0),s(0,0,a)那么ab=(a,a,0),=(0,-a).由cos,=.故sc与ab所成角的余弦值为.温馨提示 在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.各个击破类题演练 1 已知a(1,1,0),b(2,2,3),且=,求点c坐标.解析:设c(x,y,z).由=,得=,=+,(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(,3),c(,3).变式提升 1 已知梯形abcd中,abcd,其中a(1,1,2),b(2,3,4),若c点(0,1,1),d点为(2,x,y),试求d点坐标.解析:=(1,2,2),=(2,x-1,y-1),则.得x=5,y=5.d点坐标为(2,5,5).类题演练 2 已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，p、q分别是bc、cd上的动点，且|pq|=，确定p、q的位置，使得qb1pd1.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,设bp=t,得cq=,dq=2，那么b1(2,0,2),d1(0,2,2),p(2,t,0),q(2,2,0).从而=(,-2,2),=(-2,2-t,2).由qb1pd1=0，即-2(2-t)+4=0t=1.故p、q分别为bc、cd的中点时，qb1pd1；变式提升 2 棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f、g分别是dd1、bd、bb1的中点.求证：efcf.证明:建立空间直角坐标系oxyz,则d（0，0，0）,e(0,0,),f(,0),g(1,1,),c(0,1,0),=(,-),=(,-,0),=+()+0=0.cfef.类题演练 3 知边长为4的正方形abcd所在平面外一点p与正方形的中心o的连线po垂直于平面abcd,且po=6,求po的中点m到pbc的重心n的距离.解：建立如右图所示的空间直角坐标系，则b（2，2，0），c（-2，2，0），p（0，0，6）,由题意得m（0，0，3），n（0，2）.于是|mn|=.故m到pbc的重心n的距离为.变式提升 3 正方体abcda1b1c1d1中，棱长为1，e、f、g分别是dd1、bd、bb1的中点.(