高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用自主训练 新人教A版必修4.doc

1.6 三角函数模型的简单应用自主广场我夯基 我达标1.如图1-6-8所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角bac=30时，测得气球的视角为2=2，若很小时，可取sin，试估算该气球的高bc的值约为（ ）图1-6-8a.70 m b.86 m c.102 m d.118 m思路解析：1=,在rtacd中，ac=.在rtabc中，ac=，=.bc=386 m.答案：b2.如图1-6-9是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_.图1-6-9思路解析：设函数解析式为y=asin(x+)，则a=2，由图象可知t=2(0.5-0.1)=,=.0.1+=.=.函数的解析式为y=2sin(x+).答案：y=2sin(x+)3.甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_.思路解析：如图，甲楼的高度ac=ab=60米，在rtcde中，de=cetan30=60=.乙楼的高度为bd=be-de=60-米.答案：60米,60-米4.一树干被台风拦腰折断，两树干折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为_.思路解析：如图，bc=20tan30=，ab=，所以树干原来的高度为ab+bc=（米）.答案：米5.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化,且最小正周期为12.（1）画出种群数量关于时间变化的图象；（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.思路分析：根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据.解：（1）种群数量关于时间变化的图象如图所示：（2）设表示该曲线的三角函数为y=asin(x+)+k.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅a=100，即=,k=800.又7月1日种群数量达到最高，所以7+=.而=-.所以种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin (t-4)+800.6.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计如图1-6-10：图(1)的过水断面为等腰abc，ab=ac，过水湿周l1=ab+ac；图(2)的过水断面为等腰梯形abcd，ab=cd,adbc,bad=60，过水湿周l2=ab+bc+cd.若abc与等腰梯形abcd的面积都为s.图1-6-10（1）分别求l1与l2的最小值（a2+b22ab)； （2）为使流量最大，给出最佳设计方案.思路分析：解答此题首先要分别求出两个变量的函数表达式，然后可利用三角函数及不等式的性质求最值.解：在图（1）中，设abc=,ab=ac=a，则s=a2sin，由于s,a,sin皆为正值，可解得a=，当且仅当sin=1时，即=90时，取等号.所以l1=2a.在图(2)中，设ab=cd=m,bc=n,由bad=60，可求得ad=m+n,s= (n+m+n)m,解得n=.l2=2m+n=2m+-=+.当且仅当=,即m=时，取等号.通过比较，可得l1minl2min,所以最佳方案应该是图(2)所示的方案.我综合 我发展7.游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心o距地面40.5 m，半径40 m，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5 min后到达最高点，在你登上摩天轮时开始记时.你能完成下面的问题吗？（1）当你登上摩天轮2 min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，请求出你的朋友与地面的距离y关于时间t的函数关系式；(2)你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？(sin-sin=2cossin)(3)如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次20 min，从你的朋友登上摩天轮的时间算起，什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？解：根据已知，可求得你与地面距离y与时间t的函数关系式为y=40sin(t)+40.5.(1)你的朋友比你晚2 min登上摩天轮，即沿时间轴向右平移2个单位，得出你的朋友与地面距离y关于t的函数关系式为：y=40sin(t-2)+40.5,即y=40sin(t-)+40.5.(2)距离差为|y1-y2|=40|sin(t)-sin(t-)|=80cos(t-)sin.当cos(t-)=1,即t-=0,t=3.5 min时，h达到最大，最大值距离差约为47 m.(3)令h0，即sin(t-)0，故(2k+1)t-(2k+2)(kz)，因为两位游客乘坐摩天轮的时间是每次20 min，因此从你登上摩天轮开始计时到两人都下摩天轮为止，需经过22 min，即t的取值范围是0t22，故取k=0或1，6t11或16t22.从你朋友登上摩天轮的时间算起，第4 min到第9 min，以及第14 min到第20 min为止，你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离.8.已知电流i与时间t的关系式为i=asin(t+).图1-6-11（1）图1-6-11是i=asin(t+)(0,|)在一个周期内的图象，根据图中数据求i=asin(t+)的解析式；（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流i=asin(t+)都能取得最大值，那么的最小正整数值是多少？思路分析：三角函数是重要的初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中有着重要的作用，在物理课程中的力学、光学、电学，特别是对震动过程的研究，也都用到三角函数的知识.利用三角函数的图象和性质，如正、余弦的有界性、单调性、周期性，可以解决相应的综合应用问题.解：（1）因为周期t=2（+)=,=150，又a=300，所以i=300sin(150t+).将(-,0)代入上式得sin(-)=0,所以-=0,=.故所求的解析式为i=300sin(150t+).(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流i=asin(t+)都能取得最大，必满足区间长度至少包含一个周期，即，300942,所以的最小正整数值是943.9.烟筒上的正弦函数烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如图1-6-12所示，若烟筒的直径为12 cm，最短母线为6 cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料呢？图1-6-12思路分析：如何构造三角函数是本题的关键.解：如图（1）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45角，设o是圆柱的轴与截面的交点，过o作水平面，它与截面的交线为cd，它与圆柱的交线是以o为圆心的圆，cd是此圆的直径，又设b是这个圆上任意一点，过b作be垂直cd于e，作圆柱的母线ab，交截平面与圆柱的交线于a，易知aeb=45，所以ab=be.设bd弧长为x，它所取的圆心角dob=，根据弧长公式，知=.又设ab=y，由rtboe中，sin=，故be=6sin，从而y=ab=be=6sin，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0x12)，其图象如图（2），因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如图（3）.10.下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）.日期日期位置序号白昼时间y（小时）1月1日15.62月28日5910.23月21日8012.44月27日11716.45月6日12617.36月21日17219.48月13日22516.49月20日26312.410月25日2988.512月21日3555.4(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；（2）试选用一个形如y=asin（x）t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.（注：求出所选用的函数关系式；一年按365天计算） 思路分析：此题是一个实际应用性的问题，其数学模型是已知图象，求解析式.首先观察图形确定出函数的最大值和最小值，以及函数的周期，进而解出待定系数a、b、.再将一个关键点的坐标代入解析式求出.注意因为所求的解析式