高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算学习导航学案 新人教B版必修1.doc

3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a0,且a1)的b次幂等于n，就是ab=n，那么数b称为以a为底n的对数，记作logan=b，其中a称为对数的底，n称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log10n记作lgn；(3）以无理数e(e=2.718 28)为底的对数称为自然对数，logen记作lnn.2.对数的性质(1）真数n为正数（负数和零无对数）.(2）loga1=0.(3）logaa=1.(4）对数恒等式：a=n.(5)运算性质：如果a0,a1,m0,n0,则loga(mn)=logam+logan;loga=logam-logan;logamn=nlogam(nr).3.对数的换底公式一般地,我们有logan=(a0,a1,m0,m1,n0),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）logablogba=1；(2）log=logab.高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若m0，n0，m=n，则logam=logan.名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号logan中，为什么规定a0，a1，n0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。利希顿堡剖析：对数的概念是这么说的：一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于n，即ab=n，那么就称b是以a为底n的对数，记作logan=b，其中a叫做对数的底数，n叫做真数.从定义不难发现无论是指数式ab=n，还是对数式logan=b都反映的是a、b、n三数之间的关系.在对数符号logan中，若a0，则n为某些值时，logan不存在，如log（-2）8不存在.若a0，则n不为0时，logan不存在；n为0时，logan可以为任何正数，不唯一.若a1，则n不为1时，logan不存在；n为1时，logan可以为任何实数，不唯一.因此规定a0且a1.因为loganbabn，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此n0.2.式子logamn=nlogam表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？剖析：一般不能，比如2=log416=log16,而2log216=8log16=2.但有类似的性质，这个性质是log=logam.证明如下：令logam=x,则m=ax.所以logam=x.而log=log=xlog=x，所以log=logam.logamn=nlogam与log=logam的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.讲练互动【例题1】（1）将下列指数式写成对数式：210=1024；10-3=；0.33=0.027；e0=1.（2）将下列对数式写成指数式：log0.46.25=-2；lg2=0.301 0；log310=2.095 9；ln23.14=x.分析:应用指数式与对数式的等价关系求解.解：（1）log21 02410；lg-3；log0.30.0273；ln10.（2）0.4-26.25；100.301 02；32.095 910；ex23.14.绿色通道指数式与对数式之间的换算，就是利用loganbabn.变式训练1.已知loga2=m，loga3=n，则a2m-n=_.解析：loga2=m，loga3=n，am=2，an=3.a2m-n=.答案：【例题2】计算：log2+log212log242.分析:这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=（log27-log248）+log23+2log22（log27+log22+log23）=log27log23log216+log23+2log27=.解法二：原式=log2(12)=.绿色通道解决这类求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值.变式训练2.计算：（1）lg5lg20+lg22;（2）lg5lg8 000+（lg2）2+lg0.06-lg6;（3）2lg5+lg8+lg5lg20+lg22.解：（1）原式=lg5（lg4+lg5）+lg22=2lg2lg5+lg25+lg22=（lg2+lg5）2=1;（2）原式=lg5（3+3lg2）+3lg22+lg=3（1-lg2）（1+lg2）+3lg22-2=3-2=1;（3）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+lg22=2(lg5+lg2)+lg25+2lg2lg5+lg22=（lg5+lg2）2+2（lg5+lg2）=lg210+2lg10=1+2=3.【例题3】求下列各式的值：（1）8；（2）7lg20（）lg0.7；（3）log2（）+log2（1+）；（4）lg().分析:（1）由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式a=n化简计算.（2）通过取对数，先算出对数值，再求值.（3）运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解.（4）运用对数运算法则巧去根号.解：（1）8=2=2=.（2）设x=7lg20（）lg0.7，则lgx=lg20lg7+lg0.7lg（）=（lg2+1）lg7+（lg7-1）（-lg2）=lg7+lg2=lg14，x=14,即7lg20（）lg0.7=14.（3）log2（）+log2（）=log2（1+）2-（）2=log22=log22=.（4）lg（）=lg（）2=lg（）=lg10=.绿色通道有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用，如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式a=n把任何正数n化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.变式训练3.计算：(1)51-log0.23;(2)log43log92-log.分析:分别将(1)(2)小题中的对数式用换底公式换底即可解决.应用对数的换底公式换底时，一般考虑两个方向：一化为同底的对数，二化为以2、3、5、10等较小的正整数为底的对数，要学会通过观察选择最佳底数来简化运算.解：(1)原式=15.(2)原式=log23log32+log22=+=.【例题4】已知log23=a，3b=7，求log1256的值.分析:先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.解法一：log23=a，2a=3.又3b=7，7=（2a）b=2ab.故56=23+ab.又12=34=2a4=2a+2，从而56=（2a+2）=12.故log1256=log1212=.解法二：log23=a，log32=.又3b=7，log37=b.从而log1256=.解法三：log23=a，lg3=alg2.又3b=7，lg7=blg3.lg7=ablg2.从而log1256=.绿色通道解法一借助指数变形来解；解法二与解法三是利用换底公式来解，显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可.变式训练4.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么等于( )a.1 b.2 c.3 d.4解析：本题有两种解题方法.方法一：用指数解.由题意11.2=1 000，0.011 2=1000，两式相除,得1 000=1000.1.方法二：用对数解.由题意，两边取对数,得alg11.2=3，blg0.011 2=3，=（lg11.2-lg0.011 2）=1.答案：a【例题5】若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy，则=_.解析：lg(x-y)(x+2y)=lg(2xy),x2+xy-2y2=2xy，即x2-xy-2y2=0(x0,y0).两边同除以y2,得()2-2=0.=-1（舍去），或=2.答案：2黑色陷阱如果误以为原方程lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy可化为lgx-lgy+lgx+lg2y=lg2+lgx+lgy将导致解题