高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1.doc

抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015长春高二检测)过抛物线y2=4x的顶点o作互相垂直的两弦om，on，则m的横坐标x1与n的横坐标x2之积为()a.64b.32c.16d.4【解析】选c.由已知设om的斜率为k，则on的斜率为-1k.从而om的方程为y=kx，联立方程y2=4x,y=kx,解得m的横坐标x1=4k2.同理可得n的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.2.设m(x0，y0)为抛物线c：x2=8y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是()a.(0，2)b.0，2c.(2，+)d.2，+)【解析】选c.因为x2=8y，所以焦点f的坐标为(0，2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|fm|=y0+2.以f为圆心、|fm|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以f为圆心、|fm|为半径的圆与准线相交，又圆心f到准线的距离为4，故42.3.设点a是抛物线y2=4x上一点,点b(1,0),点m是线段ab的中点.若|ab|=3,则点m到直线x=-1的距离为()a.5b.32c.2d.52【解析】选d.如图,过a,m,b分别作l:x=-1的垂线,垂足分别为p,n,q,则mn=12(ap+bq)=12(3+2)=52.4.(2015荆州高二检测)抛物线y2=2x的焦点为f，其准线经过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左顶点，点m为这两条曲线的一个交点，且|mf|=2，则双曲线的离心率为()a.102b.2c.5d.52【解析】选a.f(12，0)，l：x=-12，由题意知a=12.由抛物线的定义知，xm-(-12)=2，所以xm=32，所以ym2=3，因为点(xm，ym)在双曲线上，所以9414-3b2=1，所以b2=38，所以c2=a2+b2=58，所以e2=c2a2=584=52，所以e=102.5.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，则oaob的值是()a.12b.-12c.3d.-3【解析】选d.设a(y124，y1)，b(y224，y2)，则oa=(y124，y1)，ob=(y224，y2)，则oaob=(y124，y1)(y224，y2)=y12y2216+y1y2，又因为ab过焦点，则有y1y2=-p2=-4，所以oaob=(y1y2)216+y1y2=(-4)216-4=-3，故选d.【拓展延伸】抛物线上点的坐标的设法设抛物线上的任意一点的坐标时，一般只设一个参数，设的原则是“谁有平方就设谁”，如设抛物线y2=x上的任意一点的坐标，因为y有平方，故可设点的纵坐标为m则其横坐标为m2，即点的坐标可设为(m2，m)，这样设减少了参数的个数，减少了运算量.同时注意几何性质的应用也可减化运算.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015宁波高二检测)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点f，且与y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_.【解析】抛物线y2=ax(a0)的焦点f的坐标为a4,0，则直线l的方程为y=2x-a4，它与y轴的交点为a0,-a2，所以oaf的面积为12a4a2=4，解得a=8.所以抛物线方程为y2=8x.答案：y2=8x7.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则p=_.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-2，0)，故抛物线y2=2px的准线为x=-2，所以p2=2，所以p=22.答案：228.(2015漳州高二检测)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是_.【解析】设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5，当m=23时，取得最小值43.答案：43三、解答题(每小题10分，共20分)9.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，求这个正三角形的边长.【解析】如图，设正三角形oab的顶点a，b在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y12=2px1，y22=2px2.又|oa|=|ob|，所以x12+y12=x22+y22，即x12-x22+2px1-2px2=0，所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x10，x20，2p0，所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，即线段ab关于x轴对称.由于ab垂直于x轴，且aox=30.所以y1x1=tan30=33，而y12=2px1，所以y1=23p.于是|ab|=2y1=43p.【拓展延伸】抛物线对称性的应用抛物线是轴对称图形，对称轴是坐标轴，利用对称性，可以方便地表示出抛物线上点的坐标，任何与轴垂直的弦都被轴平分.10.设f(1，0)，m点在x轴的负半轴上，点p在y轴上，且mp=pn，pmpf.(1)当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹c的方程.(2)试求轨迹c对应方程的变量x，y的范围.【解析】(1)因为mp=pn，故p为mn的中点.设n(x，y)，由m点在x轴的负半轴上，则m(-x，0)，p0,y2(x0)，又f(1，0)，所以pm=-x,-y2，pf=1,-y2.又因为pmpf，所以pmpf=-x+y24=0，所以点n的轨迹c的方程为y2=4x(x0).(2)由方程y2=4x及实际意义m点在x轴的负半轴上得x0，y0.【一题多解】(1)因为mp=pn，故p为mn的中点.设n(x，y)，由m点在x轴的负半轴上，则m(-x，0)，p(0，y2)(x0)，又由mp=pn，pmpf，故|fn|=|fm|，可得|fn|2=|fm|2，由f(1，0)，则有(x-1)2+y2=(-x-1)2，化简得：y2=4x(x0).所以，点n的轨迹c的方程为y2=4x(x0).(2)由方程y2=4x及实际意义m点在x轴的负半轴上得x0，y0.【补偿训练】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|ab|的值.(2)若|ab|=9，求线段ab的中点m到准线的距离.【解题指南】(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|ab|的值.(2)由|ab|=9求得弦ab中点的横坐标即可求得m到准线的距离.【解析】设a(x1，y1)，b(x2，y2).(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率k=tan 60=3.又f(32，0)，所以直线l的方程为y=3(x-32).联立y2=6x,y=3(x-32),消去y得x2-5x+94=0.则x1+x2=5，而|ab|=|af|+|bf|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，所以|ab|=5+3=8.(2)由抛物线定义知|ab|=|af|+|bf|=x1+x2+p=x1+x2+3=9，所以x1+x2=6，于是线段ab的中点m的横坐标是3.又准线方程是x=-32，所以m到准线的距离为3+32=92.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015包头高二检测)已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|=12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a.18b.24c.36d.48【解析】选c.如图，设抛物线方程为y2=2px(p0).因为当x=p2时，|y|=p，所以p=|ab|2=122=6.又p到ab的距离始终为p，所以sabp=12126=36.2.(2015东北三省联考)已知抛物线y2=8x的焦点为f，直线y=k(x-2)与此抛物线相交于p，q两点，则1|fp|+1|fq|=()a.12b.1c.2d.4【解析】选a.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由题意可知|pf|=x1+2，|qf|=x2+2，则1|fp|+1|fq|=1x1+2+1x2+2=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4，联立直线与抛物线方程消去y得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，可知x1x2=4，故1|fp|+1|fq|=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4=x1+x2+42x1+x2+8=12.故选a.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015安溪高二检测)已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线与x轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且满足|nf|=32|mn|，则nmf=_.【解析】过n作准线的垂线，垂足是p，则有|pn|=|nf|，所以|pn|=32|mn|，nmf=mnp.又cosmnp=32，所以mnp=6，即nmf=6.答案：64.已知直线y=a交抛物线y=x2于a，b两点.若该抛物线上存在点c，使得acb为直角，则a的取值范围为_.【解析】以ab为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a.由y=x2,x2+(y-a)2=a得y2+(1-2a)y+a2-a=0，即(y-a)y-(a-1)=0.由已知a0,a-10,解得a1.答案：1，+)三、解答题(每小题10分，共20分)5.给定抛物线y2=2x，设a(a，0)，a0，p是抛物线上的一点，且|pa|=d，试求d的最小值.【解题指南】利用两点间的距离公式，把d表示为a的函数，再结合抛物线的范围讨论其最小值.【解析】设p(x0，y0)(x00)，则y02=2x0，所以d=|pa|=x0-a2+y02=x0-a2+2x0=x0+1-a2+2a-1.因为a0，x00，所以(1)当0a0，此时有x0=0时，dmin=1-a2+2a-1=a；(2)当a1时，1-a0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1.6.(2015太原高二检测)如图，已知抛物线c：y2=2px(p0)和m：(x-4)2+y2=1，过抛物线c上一点h(x0，y0)(y01)作两条直线与m相切于a，b两点，分别交抛物线于e，f两点，圆心m到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线c的方程.(2)当ahb的角平分线垂直于x轴时，求直线ef的斜率.(3)若直线ab在y轴上的截距为t，求t的最小值.【解析】(1)因为点m到抛物线准线的距离为4+p2=174，所以p=12，所以抛物线c的方程为y2=x.(2)因为当ahb的角平分线垂直于x轴时，点h(4，2)，所以khe=-khf，设e(x1，y1)，f(x2，y2)，所以yh-y1xh-x1=-yh-y2xh-x2，所以yh-y1yh2-y12=-yh-y2yh2-y22，所以y1+y2=-2yh=-4.kef=y2-y1x2-x1=y2-y1y22-y12=1y2+y1=-14.(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为kma=y1