高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质课时提升作业2 新人教A版选修1-1.doc

椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015广东高考)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为f1(-4,0),则m=()a.9b.4c.3d.2【解析】选c.由题意得:m2=25-42=9,因为m0,所以m=3.2.(2016烟台高二检测)椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0k9)的关系为()a.有相等的长、短轴b.有相等的焦距c.有相同的焦点d.有相等的离心率【解析】选b.对于椭圆x29-k+y225-k=1(0kb0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()a.(3,0)b.(0,3)c.(5,0)d.(0,5)【解析】选a.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c=a2-b2=3.所以椭圆的焦点坐标是(3,0).4.(2016南昌高二检测)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为()a.14b.55c.12d.5-2【解析】选b.因为a,b分别为左右顶点,f1,f2分别为左右焦点,所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|bf1|=a+c,又由|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=55.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为f1,f2,过f1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p,若f1pf2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()a.22b.2-12c.2-2d.2-1【解析】选d.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为f1(-c,0),所以p(-c,yp)代入椭圆方程得c2a2+yp2b2=1,所以yp2=b4a2,又因为b2=a2-c2,所以a2-c2a=2c,所以e2+2e-1=0,又0eb0)的长轴,若把线段ab分为100等份,过每个分点作ab的垂线,分别交椭圆的上半部分于点p1,p2,p99,f1为椭圆的左焦点,则|f1a|+|f1p1|+|f1p2|+|f1p99|+|f1b|的值是()a.98ab.99ac.100ad.101a【解析】选d.设f2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|f1p1|=|f2p99|,|f1p2|=|f2p98|,|f1p49|=|f2p51|,因此|f1p1|+|f1p99|=|f1p2|+|f1p98|=|f1p49|+|f1p51|=|f1a|+|f1b|=2a.故结果应为502a+|f1p50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|f1p50|,结果选c而致错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由2a=12,ca=13,得a=6,c=2,由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为y236+x232=1.答案:y236+x232=17.(2016济南高二检测)已知椭圆x25+y2m=1的离心率e=105,则m的值为.【解析】由椭圆的标准方程,易知m0且m5.若0m5,则a2=m,b2=5.由5m=1-1052=35,得m=253.所以m的值为3或253.答案:3或2538.若点o和点f分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点p为椭圆上的任意一点,则opfp的最大值为.【解题指南】设p(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,f(-1,0),设点p(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,因为fp=(x0+1,y0),op=(x0,y0),所以opfp=x0(x0+1)+y02=x0(x0+1)+31-x024=x024+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,opfp取得最大值224+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点m的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则m(c,23b).代入椭圆方程,得c2a2+4b29b2=1,所以c2a2=59,所以ca=53,即e=53.【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为f1(-c,0),f2(c,0),m点的坐标为(c,23b),则mf1f2为直角三角形.在rtmf1f2中,|f1f2|2+|mf2|2=|mf1|2,即4c2+49b2=|mf1|2.而|mf1|+|mf2|=4c2+49b2+23b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以b2a2=49.所以e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=59,所以e=53.10.(2016潍坊高二检测)如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,a为椭圆的上顶点,直线af2交椭圆于另一点b.(1)若f1ab=90,求椭圆的离心率.(2)若af2=2f2b,af1ab=32,求椭圆的方程.【解析】(1)若f1ab=90,则aof2为等腰直角三角形,所以有oa=of2,即b=c.所以a=2c,e=ca=22.(2)由题意知a(0,b),f1(-c,0),f2(c,0).其中,c=a2-b2,设b(x,y).由af2=2f2b(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即b3c2,-b2.将b点坐标代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.又由af1ab=(-c,-b)3c2,-3b2=32b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016武汉高二检测)椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f,椭圆c与x轴正半轴交于点a,与y轴正半轴交于b(0,2),且bfba=42+4,则椭圆c的方程为()a.x24+y22=1b.x26+y24=1c.x28+y24=1d.x216+y28=1【解析】选c.由已知得f(c,0),a(a,0),b(0,2),所以bfba=(c,-2)(a,-2)=ac+4=42+4,所以b=2,ac=42,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4.所以椭圆c的方程为x28+y24=1.2.(2016长春高二检测)如图,f1,f2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,a和b是以o为圆心,以|of1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且f2ab是等边三角形,则椭圆的离心率为()a.32b.12c.22d.3-1【解析】选d.由题意知a-c2,3c2.把a代入椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),得c24a2+3c24b2=1,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得e4-8e2+4=0,所以e2=864-162=423.因为0e1,所以e=3-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率00,所以a21,所以1a2,故长轴长2b0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于b,c两点,且bfc=90,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用kbfkcf=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=b2与椭圆的方程联立得b-32a,b2,c32a,b2,f(c,0),则kbf=b2-32a-c,kcf=b232a-c,因为bfc=90,所以kbfkcf=b2-32a-cb232a-c=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=ca=63.答案:63三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知椭圆x29+y24=1的焦点为f1,f2,点p是椭圆上的一个动点,求pf1pf2的取值范围.【解析】由x29+y24=1,得f1(-5,0),f2(5,0),设p(x0,y0),则pf1=(-5-x0,-y0),pf2=(5-x0,-y0).所以pf1pf2=(x02-5)+y02.又x029+y024=1,所以y02=4-49x02,代入,得pf1pf2=59x02