高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A版必修4.doc

24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角2会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则有下表：坐标表示数量积ab_模|a|_或|a|2_设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则|_垂直abab0_0夹角cos _已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)若abx1y2x2y1，即x1y2x2y10.若abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反【做一做11】 向量m(1,0)，n(2，5)，则mn等于()a2 b0 c2 d7【做一做12】 已知(3，4)，则|等于()a3 b4 c. d5【做一做13】 若向量a(4,2)，b(6，m)，且ab，则m的值是()a12 b3 c3 d12【做一做14】 已知a(3,0)，b(5,5)，则a与b的夹角_.答案：x1x2y1y2xyx1x2y1y2【做一做11】 cmn120(5)2.【做一做12】 d|5.【做一做13】 dab，462m0，解得m12.【做一做14】 |a|3，|b|5，ab3(5)0515，则cos .又0，即a与b的夹角为.1投影的坐标表示剖析：由于向量b(x2，y2)在向量a(x1，y1)方向上的投影为|b|cos (为a与b的夹角)，从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示为.同理可得，向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为|a|cos .2向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，a与b的夹角为.(1)aba1b1a2b2；(2)aba1b1a2b20；(3)aa|a|2|a|；(4)cos cos ；(5)|ab|a|b|a1b1a2b2|.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式aba1b1a2b2以及相关的向量的长度公式和夹角公式在这个过程中还要熟练运用方程的思想值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a(2，1)，b(3，2)，求(3ab)(a2b)分析：先求出ab，a2，b2，再对(3ab)(a2b)展开求解反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积题型二 垂直问题【例2】 已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()a9 b4 c0 d4反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决本题也可先求出ab的坐标，再代入a(ab)0解得x.题型三 夹角问题【例3】 已知a(，1)，b(2,2)(1)求ab；(2)求a与b的夹角.分析：(1)直接用公式abx1x2y1y2即可；(2)直接用cos 求解反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a|计算出这两个向量的模；(3)由公式cos 直接求出cos 的值；(4)在0内，由cos 的值求角.【例4】 已知abc中，a(2，2)，b(5,1)，c(1,4)，求bac的余弦值分析：bac是和的夹角，转化为求向量的夹角问题反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题题型四 易错辨析【例5】 已知a(1，2)，b(1，)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()a(，2) b.c. d.错解：a与b的夹角为锐角，cos 0，即ab120，得，故选d.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的如当a与b同向时，即a与b的夹角0时cos 10，此时2，显然是不合理的反思：对非零向量a与b，设其夹角为，则为锐角cos 0且cos 1ab0且amb(m0)；为钝角cos 0且cos 1ab0且amb(m0)；为直角cos 0ab0.答案：【例1】 解法一：因为ab23(1)(2)8，a222(1)25，b232(2)213，所以(3ab)(a2b)3a27ab2b2357821315.解法二：a(2，1)，b(3，2)，3ab(6，3)(3，2)(3，1)，a2b(2，1)(6，4)(4,3)(3ab)(a2b)3(4)(1)315.【例2】 aa(ab)，a(ab)0，a2ab5(x4)0，解得x9.【例3】 解：(1)ab224.(2)cos .又0180，30.【例4】 解：(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cos bac.【例5】 aa与b的夹角为锐角，cos 0且cos 1，即ab0且a与b方向不同，即ab120，且amb(m0)，解得(，2)，故选a.1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c等于()a(15,12) b0 c3 d112abc中，a(5，1)，b(1,1)，c(2,3)，则abc是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等边三角形3(2011广东佛山高三质检)已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为()a. b. c. d.4若向量a(2x1，x3)，b(x,2x1)，c(1,2)，且(ab)c，则实数x的值为_5已知a(1,2)，b(3,2)，若kab与a3b垂直，求实数k的值答案：1ca2b(5,6)，(a2b)c53623.2b(4，2)，(1,2)，则4(2)20.abc90.3b由于2ab(4,2)，则b(4,2)2a(2,0)，则ab2，|a|，|b|2.设向量a，b的夹角为，则cos .又0，所以.43ab(x1,2x)由于(ab)c，则(ab)c0，所以(x1)2(2x)0，解得x