高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4.doc

22.1向量加法运算及其几何意义1通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来2掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量3掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，初步掌握向量加法的实际应用1向量的加法(1)定义：求两个向量_的运算，叫做向量的加法两个向量的和仍然是一个_(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点a，作a，b，则向量_叫做向量a与b的和，记作ab.这种求_的方法叫做向量加法的三角形法则(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b(如图乙所示)，作a，b，则a，b，d三点不共线，以，为邻边作平行四边形abcd，则向量_ab，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量这个法则叫做向量加法的多边形法则多边形法则实质就是三角形法则的连续应用三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义(4)规定：a00aa.(5)结论：|ab|a|b|.【做一做11】 等于()a. b. c. d.【做一做12】 在平行四边形abcd中，等于()a.b. c. d.【做一做13】 在边长为1的正方形abcd中，|等于()a0 b1 c. d32向量加法的运算律交换律ab_结合律(ab)c_【做一做2】 化简_.答案：1(1)和向量(2)向量和(3)【做一做11】 c【做一做12】 a【做一做13】 b|1.2baa(bc)【做一做2】 0()0.向量加法与实数加法的异同剖析：讨论两种运算的异同，主要从它们的运算结果、运算律、运算的意义来分析(1)运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数(2)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证，如下：如图，作=a，=b，=c，连接ac，ad，则=a+b，=b+c.=+=a+(b+c)，=+=(a+b)+c，(a+b)+c=a+(b+c)(3)运算的意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小，是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行 题型一 作向量的和【例1】 如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量abc.分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则反思：应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便如本题作法1比作法2简单题型二 化简含有向量的关系式【例2】 化简下列各式：(1)；(2)().分析：首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和反思：化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量，如本题题型三 向量加法的实际应用【例3】 如图，在重300 n的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小反思：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤解题：题型四 易错辨析易错点用平行四边形法则作平行向量的和【例4】 如图，已知平行向量a，b，求作ab.错解：作a，b，则ab就是求作的向量错因分析：因为两向量反向，和向量的长度应为|b|a|，方向应与向量b的方向相同答案：【例1】 解：作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点o，作向量a，接着作向量b，则得向量ab；然后作向量c，则向量(ab)cabc即为所求图1作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点o，作向量a，b，c，以oa，ob为邻边作oadb，连接od，则ab.图2再以od，oc为邻边作odec，连接oe，则abc即为所求【例2】 解：(1)0.(2)()()().【例3】 解：如图，作oacb，使aoc30，boc60，和分别表示两根绳子的拉力，则表示这两根绳子拉力的合力，则|300 n.在oac中，acoboc60，oac90.则|cos 30300150(n)，|sin 30300150(n)，即|150(n)则可得与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 n，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 n.【例4】 正解：作a，b，则ab就是求作的向量1四边形abcd中，则四边形abcd是()a任意四边形 b矩形c正方形 d平行四边形2如图所示，四边形abcd是梯形，adbc，则()a. b. c. d.3化简下列各式：(1)；(2).4已知向量a和向量b，如图所示，分别用三角形法则和平行四边形法则作出ab.5如图所示，两个力f1和f2同时作用在一个质点o上，且f1的大小为3 n，f2的大小为4 n，且aob90，试作出f1和f2的合力，并求出合力的大小答案：1d2b.3解：(1)0；(2)()().4作法1：作向量a，向量b；连接ob，则向量ab.如图1所示 图1图2作法2：作向量a，向量b；以oa，ob为邻边作平行四边形oa