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文档简介
2.3.2 双曲线的简单几何性质课后导练基础达标1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线方程为( )a.x2-y2=96 b.y2-x2=160c.x2-y2=80 d.y2-x2=24答案:d2.实轴长为45且过点a(2,-5)的双曲线的标准方程是( )a.=1 b.=1c.=1 d.=1答案:b3.中心在坐标原点,离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为( )a.y=x b.y=x c.y=x d.y=x答案:d4.焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )a.=1 b.=1c.=1 d.=1答案:b5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率e等于( )a. b. c. d. 答案:c6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_,虚轴长为_,渐近线方程为,离心率为_.答案:2 4 y=x 7.准线方程为x+y=1,相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是_.答案:xy=8.已知双曲线x2-3y2=3上一点p到左、右焦点的距离之比为12,则p点到右准线的距离为_.答案:69.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点,求k的值.解:直线y=kx-1过(0,-1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点,必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.当直线与渐近线平行时,双曲线的渐近线方程是y=x.k=式.10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点a(4,-1),圆在a点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程.解:点a与圆心o的连线的斜率为-,过a的切线的斜率为4.双曲线的渐近线方程为y=4x.设双曲线方程为x2=.点a(4,-1)在双曲线上,16=,=.双曲线的标准方程为=1.综合运用11.已知双曲线=1(a0,b0),f1、f2为双曲线的两个焦点,点p在双曲线上,求|pf1|pf2|的最小值.解:设p点的横坐标为x0,则x0a或x0-a.由焦半径公式得|pf1|pf2|=|a-ex0|a+ex0|=|a2- x02|=x02-a2=x02-a2.|x0|a,x02a2.|pf1|pf2|a2-a2=b2.当|x0|=a时,上式“=”成立.|pf1|pf2|的最小值为b2.12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点a(x1,y1)、b(x2,6)、c(x3,y3),与焦点f(0,5)的距离成等差数列.(1)求y1+y3的值;(2)求证:线段ac的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标.答案:(1)解:=e.|pf|=ey-a.又a、b、c到f的距离成等差数列,2(ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a).y1+y3=2y2=12.(2)证明:由题意,得.-,得(y1-y3)(y1+y3)(x1-x3)(x1+x3)=0.若x1+x3=0,则kac=0,y1=y3=y2=6,a、b、c三点共线,这是不可能的.x1+x30.则ac的中垂线方程为y-6=(x).即y=.因此,ac的中垂线过定点(0,).13.双曲线的中心在坐标原点,离心率为4,一条准线方程是x=,求双曲线的方程.解:双曲线的中心在原点,准线和x轴垂直,双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.=4,=.a=2,c=8.b2=82-22=60.双曲线的方程是=1.拓展探究14.已知双曲线=1,f为其右焦点,a(4,1)为平面上一点,点p为双曲线上一点,求|pa|+ |pf|的最小值(如右图).解:由双曲线的第二定义可知=e,其中d为p到右准线l:x=的距离,e=.|pf|=ed=d.|pa|+|pf|=|pa|+d.|pa|+|pf|=|pa|+d,则求|pa|+|pf|的最小值:在双曲线上求一点p,使p到a的距离与到右准线l:x=的距离之和最小,如题图,由平面几何的知识知道,从直线外一点向该直线所引的线段中,垂线段最短,从而过点a向右准线l:x=作垂线,交双曲线于p点,此时|pa|+d最小,即|pa|+|pf|最小,最小值为垂线段ab的长,易求|ab|=,故|pa|+|pf|的最小值为.15.已知点m(-2,0)、n(2,0),动点p满足条件|pm|-|pn|=22.记动点p的轨迹为w.(1)求w的方程;(2)若a、b是w上的不同两点,o是坐标原点,求的最小值.解法一:(1)由|pm|-|pn|=2知动点p的轨迹是以m、n为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故虚半轴长b=.所以w的方程为=1,x.(2)设a、b坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当abx轴时,x1=x2,y1=-y2.从而=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当ab与x轴不垂直时,设直线ab的方程为y=kx+m,与w的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.故x1+x2=,x1x2=.所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=.又因为x1x20,所以k2-10,从而2.综上,当abx轴时,取得最小值2.解法二:(1)同解法一.(2)设a、b的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令si=xi+yi,ti=xi-
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