高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用自主广场素材 新人教B版必修4.doc

2.4 向量的应用自主广场我夯基 我达标1.过点a(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直线方程为( )a.2x+y-7=0 b.2x+y+7=0c.x-2y+4=0 d.x-2y-4=0思路解析:利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点p(x,y)，则a， 又=(x-2,y-3)，2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.答案:a2.(全国高考卷，理8)已知点a(，1)，b(0，0)，c(，0).设bac的平分线ae与bc相交于e，那么有=，其中等于( )a.2 b. c.-3 d.-思路解析:思路一：在abc中，ac=1,bc=,ab=2.=2.be=2ec.|=3|.|=3. 又与方向相反，0.=-3. 思路二：设e(x,0)，则=(，-1)，=(x-，-1)，=(0，-1).ae平分bac，bae=eac.又cos，=，cos，=，=.=.=.解得x=.e(,0).=(，0)，=(-，0).=-3.=-3.答案:c3.在abc中，c=90，=(k，1)，=(2，3)，则k的值是( )a.5 b.-5 c. d.-思路解析:由题意，得=(2，3)-(k，1)=(2-k，2)，c=90，.=0.2(2-k)+32=0.k=5.答案:a4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则( )a.|v1|v2| b.|v1|v2| c.|v1|v2| d.|v1|v2|思路解析:速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|v2|.答案:b5.(福建高考卷，理11)已知|=1，|=，=0，点c在aoc内，且oac=30.设=m+n(m，nr)，则等于( )a. b.3 c. d.思路解析:=0，. 则可以设a(1，0)，b(0，)，c(x，y)=(，)，=m+n(m，nr)，m+n=(m，n).m=，n=，=3.答案:b6.(四川高考卷，理7)如图2-4-8所示,已知正六边形p1p2p3p4p5p6，下列向量的数量积中最大的是( )图2-4-8a. b. c. d.思路解析:设|=a，p2p1p3=，|p1p3|=a,=aa=.p2p1p4=，|=2a，=a2a=a2，=0，0.数量积中最大的是.答案:a7.(东北三校二模，14)已知向量a=(6，2)，b=(-4，)，直线l过点a(3，-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为_.思路解析:由题意，得a+2b=(-2，3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.答案:2x-3y-9=0我综合 我发展8.(上海春季高考卷，5)在abc中，若c=90，ac=bc=4，则=_.思路解析:由于ac=bc，c=90，则abc是直角三角形,|=4，=45.所以=|cos，=44cos45=16.答案:169.已知三个力f1=(3，4)，f2=(2，-5)，f3=(x，y)的合力f1+f2+f3=0.求f3的坐标.思路分析:把力看成向量，将f1+f2+f3=0变为坐标的形式就可以得到结论.解：由题设f1+f2+f3=0，得(3，4)+(2，-5)+(x，y)=(0，0)， 即f3=(-5，1).10.用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路分析:用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高be、cf交于点h，再证明与垂直，即证明ahbc可说明结论成立.答案:已知：如图2-4-9，ad、be、cf是abc的三条高，求证：ad、be、cf交于一点.图2-4-9 证法一：设两条高be、cf交于点h. 设=a，=b,则=-a，=-b，=b-a.，=0，=0.(-a)b=0，(-b)a=0.(-a)b=(-b)a. 化简得(b-a)=0，即=0. ahbc，即ad、be、cf交于一点. 证法二：如图2-4-10，以ab所在直线为x轴，以a为原点建立平面直角坐标系，设b(c,0),c(m,n),h(m,y).图2-4-10 则有=(m-c,y),=(m,n),=(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).，m(m-c)+ny=0. 解得y=.=(m，).=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.ahbc.故ad、be、cf交于一点.11.如图2-4-11,有两条相交成60的直线xx1,yy1交点为o.甲、乙分别在ox、oy1上,起初甲位于离o点3 km的a处,乙位于离o点1 km的b处，后来两个人同时以每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.问：(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?思路分析:把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和o三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在a、b两点,则|=3，|=1.|2=(+)2=+2+=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|= km,即起初两人相距 km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是p、q，|2=()2=|2-2+|2=|2+|2-2|cos，. 当0t时，|=1-4t，|=3-4t,，=60，|2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60=16t2-16t+7.当t时，|=4t-1，|=3-4t，=120，|2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120=16t2-16t+7. 当t时，|=4t-1，|=4t-3，=6