2026版《金版教程》高考一轮复习数学第二章 考点测试15 导数的概念及运算

高考总复习首选用卷数学考点测试15导数的概念及运算基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789101112难度★★★★★★★★★★★★对点函数的变化率；导数的运算导数的运算求曲线上一点处的切线导数的几何意义由曲线在某点处切线的斜率求参数导数的运算；函数的奇偶性求曲线上一点处的切线曲线的切线条数导数的运算导数的运算；函数的周期性与对称性导数几何意义的应用；新定义问题由曲线的切线方程求函数值题号1314151617181920212223难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点两曲线的公切线导数几何意义的应用由曲线的切线方程求参数导数的运算曲线的切线问题导数的运算由曲线的切线方程求参数两曲线的公切线导数的运算；函数的周期性导数几何意义的应用；新定义问题两曲线的公切线高考概览本考点是高考的必考知识点，既可作为选择题、填空题独立考查，也可结合导数应用在解答题中综合考查，中等难度考点研读1.了解导数概念的实际背景2．通过函数图象直观理解导数的几何意义3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的导数4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数1．(2025·四川内江模拟)已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋lnx，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)的值为()A．e B．－2C．－eq\f(1,2) D．0答案：D解析：因为f′(x)＝－x＋eq\f(1,x)，所以f′(1)＝－1＋1＝0，所以eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝0.故选D.2．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)＝()A．－eq\f(1,e) B．－1C．1 D．e答案：B解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，当x＝e时，f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－eq\f(1,e)，所以f(x)＝－eq\f(2,e)x＋lnx，f(e)＝－eq\f(2e,e)＋lne＝－1.3．曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1答案：D解析：因为y＝eq\f(x,x－2)，所以y′＝eq\f(x′（x－2）－（x－2）′x,（x－2）2)＝eq\f(－2,（x－2）2)，所以y′|x＝1＝eq\f(－2,（1－2）2)＝－2，所以曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线斜率为－2，故曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选D.4．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2)答案：C解析：从y＝f(x)的图象可以看出，点B处切线的斜率大于直线AB的斜率，直线AB的斜率大于点A处切线的斜率，点A处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得0<f′(3)<eq\f(f（3）－f（2）,3－2)<f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．5．(2025·湖北部分市州高三上期末联考)若曲线f(x)＝eq\f(a,x)ln(2x)在x＝eq\f(1,2)处的切线与直线y＝3x＋5垂直，则a＝()A．－eq\f(1,6) B．－eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)答案：B解析：由f(x)＝eq\f(a,x)ln(2x)，得f′(x)＝－eq\f(a,x2)ln(2x)＋eq\f(a,x2)，故曲线f(x)在x＝eq\f(1,2)处的切线斜率为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)))＋eq\f(a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝4a，又曲线f(x)在x＝eq\f(1,2)处的切线与直线y＝3x＋5垂直，所以3×4a＝－1，解得a＝－eq\f(1,12).故选B.6．(2025·上海部分学校阶段考试)已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))，则下列说法中正确的是()A．f′(x)为奇函数 B．f′(x)为偶函数C．f′(0)＝0 D．f(π)＋f′(π)＝－π答案：B解析：因为f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝xcosx，所以f′(x)＝cosx－xsinx，对于A，B，因为f′(－x)＝cos(－x)－(－x)sin(－x)＝cosx－xsinx＝f′(x)，且x∈R，所以f′(x)为偶函数，所以A错误，B正确；对于C，f′(0)＝cos0－0＝1，所以C错误；对于D，f(π)＋f′(π)＝πcosπ＋cosπ－πsinπ＝－π－1，所以D错误．故选B.7．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2－f′(1)x＋2，则f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为()A．－3 B．3C．－5 D．5答案：A解析：∵当x>0时，f′(x)＝2x－f′(1)，∴f′(1)＝2－f′(1)，解得f′(1)＝1，∴当x>0时，f(x)＝x2－x＋2；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋x＋2，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋x＋2，即当x<0时，f(x)＝x2＋x＋2，则f′(x)＝2x＋1，∴f′(－2)＝－3.8．已知函数f(x)＝－x3＋3x，则过点(－3，－9)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为()A．0B．1C．2D．3答案：C解析：因为f(x)＝－x3＋3x，所以f′(x)＝－3x2＋3，设切点坐标为(a，－a3＋3a)，所以在切点(a，－a3＋3a)处的切线方程为y＝－3(a2－1)(x－a)－a3＋3a，又点(－3，－9)在切线上，所以－9＝－3(a2－1)(－3－a)－a3＋3a，即－9＝3(a2－1)(3＋a)－a3＋3a，整理，得2a3＋9a2＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(9,2)，所以过点(－3，－9)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为2.9．(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋4)，则f′(x)＝－2cos(2x＋4)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝eq\f(x,ex)，则f′(x)＝eq\f(1－x,ex)D．若f(x)＝eq\r(x)＋lneq\r(x)，则f′(x)＝eq\f(\r(x)＋1,2x)答案：CD解析：若f(x)＝sin(2x＋4)，则f′(x)＝2cos(2x＋4)，A错误；若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，B错误；若f(x)＝eq\f(x,ex)，则f′(x)＝eq\f(ex－xex,（ex）2)＝eq\f(1－x,ex)，C正确；若f(x)＝eq\r(x)＋lneq\r(x)，则f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋eq\f(1,2x)＝eq\f(\r(x)＋1,2x)，D正确．故选CD.10．(多选)已知f(x)是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f′(x)，则下列说法正确的是()A．若f(x)＝f(－x)，则f′(x)＝－f′(－x)B．若f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，则f(x)＝f(x＋T)C．若f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f′(x)的图象关于直线x＝a对称D．若f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，f′(x＋2)的图象关于原点对称，则f(－1)＋f′(2)＝1答案：ACD解析：对于A，由f(x)＝f(－x)，根据导数的运算法则，可得f′(x)＝－f′(－x)，所以A正确；对于B，例如，函数f(x)＝x，可得f′(x)＝1，此时满足f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，但f(x)≠f(x＋T)，所以B错误；对于C，由f(x)的图象关于点(a，b)对称，可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，两边同时取导数，可得f′(a＋x)－f′(a－x)＝0，即f′(a＋x)＝f′(a－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝a对称，所以C正确；对于D，由f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，令x＝0，可得f(－1)＋f(－1)＝2，即f(－1)＝1，又由f′(x＋2)的图象关于原点对称，所以f′(2)＝0，所以f(－1)＋f′(2)＝1，所以D正确．故选ACD.11．(多选)(2024·广东名校教研联盟高三5月模拟)若函数y＝f(x)的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线垂直，则称函数y＝f(x)为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是()A．y＝x2 B．y＝exC．y＝xlnx D．y＝sinx答案：ACD解析：对于A，y′＝2x，存在x1，x2，使4x1x2＝－1成立，A符合题意；对于B，y′＝ex>0，不存在x1，x2，使ex1＋x2＝－1成立，B不符合题意；对于C，y′＝lnx＋1，存在x1＝1，x2＝e－2，使(lnx1＋1)(lnx2＋1)＝－1成立，C符合题意；对于D，y′＝cosx，存在x1＝0，x2＝π，使cosx1cosx2＝－1成立，D符合题意．故选ACD.12．(2024·陕西安康高新中学、安康中学高新分校4月联考)已知函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若h(x)＝eq\f(f（x）,x)，则h′(1)的值为________．答案：－eq\f(1,2)解析：将x＝1代入切线方程x－2y＋1＝0，得y＝1，故f(1)＝1，由切线方程的斜率可知，f′(1)＝eq\f(1,2)，h′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2)，所以h′(1)＝eq\f(f′（1）－f（1）,12)＝－eq\f(1,2).13．(2025·广东八校高三开学联考)若曲线y＝lnx－x2＋2x在x＝1处的切线恰好与曲线y＝ex＋a也相切，则a＝________．答案：－1解析：由y＝lnx－x2＋2x，可得y′＝eq\f(1,x)－2x＋2，当x＝1时，y＝1，y′＝1，可知曲线y＝lnx－x2＋2x在x＝1处的切线是y＝x；由y＝ex＋a，可得y′＝ex，令y′＝ex＝1，得x＝0，由切点(0，0)在曲线y＝ex＋a上，得a＝－1.14．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．答案：4解析：当直线x＋y＝0平移到与曲线y＝x＋eq\f(4,x)相切的位置时，切点Q到直线x＋y＝0的距离即点P到直线x＋y＝0的距离的最小值，由y′＝1－eq\f(4,x2)＝－1，得x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)(舍去)，y＝3eq\r(2)，则切点Q(eq\r(2)，3eq\r(2))，则切点Q到直线x＋y＝0的距离为eq\f(|\r(2)＋3\r(2)|,\r(12＋12))＝4.15．已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为()A．8 B．9C．10 D．13答案：B解析：设切点为(x0，y0)，y＝ln(x＋b)的导数为y′＝eq\f(1,x＋b)，由切线方程y＝x－a可得切线的斜率为1，所以eq\f(1,x0＋b)＝1，即x0＝1－b，则y0＝ln(1－b＋b)＝0，故切点为(1－b，0)，代入y＝x－a，得a＋b＝1，因为a，b为正实数，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)时，eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)取得最小值9.16．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)设f(x)＝sinx，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则eq\o(∑,\s\up8(2025),\s\do8(i＝1))fieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝()A．0 B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(1,2)答案：B解析：由题意可得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，可知fn＋4(x)＝fn(x)，且f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，且2025＝506×4＋1，所以eq\o(∑,\s\up8(2025),\s\do8(i＝1))fieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).故选B.17．(多选)(2025·河南郑州名校教研联盟高三模拟)过点P(a，b)作直线l与函数f(x)＝－2x3的图象相切，则()A．若点P与原点重合，则直线l的方程为y＝0B．若直线l与直线x－6y＝0垂直，则6a＋b＝4C．若点P在f(x)的图象上，则符合条件的直线l只有1条D．若符合条件的直线l有3条，则eq\f(a3,b)<－eq\f(1,2)答案：AD解析：设直线l与函数f(x)＝－2x3的图象切于点Q(t，－2t3)，当点P与点Q不重合时，切线斜率k＝f′(t)＝－6t2＝eq\f(－2t3－b,t－a)，整理，得4t3－6at2－b＝0，当点P与点Q重合时，切线斜率k＝f′(a)＝－6a2＝－6t2.对于A，若点P与原点重合，点P在函数f(x)＝－2x3的图象上，则a＝b＝0，此时t＝0，k＝0，直线l即x轴，方程为y＝0，A正确；对于B，若直线l与直线x－6y＝0垂直，则k＝－6t2＝－6，t＝±1，当点P(a，b)为切点时，6a＋b＝4或6a＋b＝－4，当点P(a，b)不为切点时，满足－6t2＝eq\f(－2t3－b,t－a)，整理，得4t3－6at2－b＝0，当t＝1时，4－6a－b＝0，6a＋b＝4，当t＝－1时，－4－6a－b＝0，6a＋b＝－4，B错误；对于C，当点P在f(x)的图象上时，b＝－2a3，4t3－6at2－b＝0，则4t3－6at2＋2a3＝0，即(t－a)2(2t＋a)＝0，所以t＝a或t＝－eq\f(a,2)，故当a≠0时，t有两解，符合条件的直线l有2条，C错误；对于D，若符合条件的直线l有3条，则点P(a，b)不在f(x)的图象上，设直线l与f(x)＝－2x3的图象切于点Q(t，－2t3)，则切线方程为y＋2t3＝－6t2(x－t)，即y＝－6t2x＋4t3，又点P(a，b)在切线上，所以有4t3－6at2－b＝0，设g(t)＝4t3－6at2－b，则g′(t)＝12t2－12at，由g′(t)＝0，得t＝0或t＝a，因为符合条件的直线l有3条，则g(t)有3个零点，则g(0)g(a)＝－b(－2a3－b)<0，所以b(2a3＋b)<0，即b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a3,b)＋1))<0，故eq\f(2a3,b)＋1<0，eq\f(a3,b)<－eq\f(1,2)，D正确．故选AD.18．在等比数列{an}中，a1013＝2，若函数f(x)＝eq\f(1,2)x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a2025)，则f′(0)＝________．答案：－22024解析：设g(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a2025)，则f(x)＝eq\f(1,2)xg(x)，f′(x)＝eq\f(1,2)g(x)＋eq\f(1,2)xg′(x)，所以f′(0)＝eq\f(1,2)g(0)．因为{an}是等比数列，且a1013＝2，所以a1a2025＝a2a2024＝…＝a1012a1014＝aeq\o\al(2,1013)＝22，所以a1a2…a2025＝(a1a2025)(a2a2024)…(a1012a1014)a2013＝(22)1012×2＝22025，故g(0)＝(0－a1)·(0－a2)…(0－a2025)＝(－1)2025a1a2…a2025＝－22025，所以f′(0)＝eq\f(1,2)g(0)＝－22024.19．(2025·江苏南通名校联盟高三调研)设a>0，函数f(x)＝2x2＋a的图象与直线y＝m交于点A，B.若曲线y＝f(x)与x轴上方(不含x轴)的正三角形ABC的两条边相切，则a的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞))解析：由于A，B都在直线y＝m上，故AB平行于x轴，再由f(x)是偶函数，可设A(－u，2u2＋a)，B(u，2u2＋a)，u>0.由已知可得BC是y＝f(x)的切线，故f′(u)＝kBC＝tan∠ABC＝tan60°＝eq\r(3)，所以由f′(x)＝4x可知，4u＝eq\r(3)，故u＝eq\f(\r(3),4)，从而Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,8)＋a)).由于kBC＝eq\r(3)，故直线BC的方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),4)))＋eq\f(3,8)＋a，令x＝0，得y＝a－eq\f(3,8)，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a－\f(3,8))).根据已知条件，得点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a－\f(3,8)))在x轴上方，所以a－eq\f(3,8)>0，故a>eq\f(3,8)，即a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，＋∞)).20．若函数f(x)＝1－eq\f(1,x)(x>0)与g(x)＝alnx(a>0)的图象有且只有一条公切线，则实数a的值为________．答案：1解析：设公切线与函数f(x)，g(x)的图象分别切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，1－\f(1,x1)))，B(x2，alnx2)，因为f′(x)＝eq\f(1,x2)，所以f′(x1)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))，所以公切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1)))＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))(x－x1)，即y＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))x＋1－eq\f(2,x1)，因为g′(x)＝eq\f(a,x)，所以g′(x2)＝eq\f(a,x2)，所以公切线方程为y－alnx2＝eq\f(a,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(a,x2)x－a＋alnx2，因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一条公切线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,xeq\o\al(2,1))＝\f(a,x2)，,1－\f(2,x1)＝－a＋alnx2，))由eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＝eq\f(a,x2)，得x2＝axeq\o\al(2,1)，代入1－eq\f(2,x1)＝－a＋alnx2，得1－eq\f(2,x1)＝－a＋aln(axeq\o\al(2,1))＝－a＋alna＋2alnx1，整理，得1－eq\f(2,x1)－2alnx1＝－a＋alna，令h(x)＝1－eq\f(2,x1)－2alnx1，则h′(x)＝eq\f(2－2ax1,xeq\o\al(2,1))，当0<x1<eq\f(1,a)时，h′(x)>0，则函数h(x)单调递增，当x1>eq\f(1,a)时，h′(x)<0，则函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1－2a＋2alna，则当1－2a＋2alna＝－a＋alna时，函数f(x)＝1－eq\f(1,x)(x>0)与g(x)＝alnx(a>0)的图象有且只有一条公切线，即alna－a＋1＝0，解得a＝1.21．(多选)(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x)是奇函数，f(2)＝－f(1)≠0，且对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f′(y)＋f′(x)f(y)，则()A．f′(1)＝－eq\f(1,2)B．f(9)＝1C．f′(x)是周期为3的函数D.eq\o(∑,\s\up8(20),\s\do8(k＝1))f′(k)＝－1答案：ACD解析：对于A，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)f′(1)，因为f(2)＝－f(1)≠0，所以f′(1)＝－eq\f(1,2)，A正确；对于B，C，令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)f′(1)＋f′(x)f(1)①，所以f(1－x)＝f(－x)f′(1)＋f′(－x)f(1)，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)是偶函数，所以f(1－x)＝－f(x)f′(1)＋f′(x)f(1)②，由①②，得f(x＋1)＝2f(x)f′(1)＋f(1－x)＝－f(x)－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋3)＝－f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)＋f(x)－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)，f′(x)是周期为3的函数，所以f(9)＝f(0)＝0，所以B错误，C正确；对于D，因为f′(2)＝f′(－1)＝f′(1)＝－eq\f(1,2)，在①中令x＝0，得f(1)＝f(0)f′(1)＋f′(0)f(1)，所以f′(0)＝1，eq\o(∑,\s\up8(20),\s\do8(k＝1))f′(k)＝[f′(1)＋f′(2)＋f′(3)]×6＋[f′(1)＋f′(2)]＝－1，所以D正确．故选ACD.22．(多选)假设直线L与曲线M相切，若切点唯一，则称直线L与曲线M单切；若切点有两个，则称直线L与曲线M双切；若L还与曲线M相交，则称直线L与曲线M交切．已知函数f(x)＝|x3－3x|，则()A．直线y＝2与曲线y＝f(x)双切B．直线y＝－4x＋1与曲线y＝f(x)单切C．直线y＝2与曲线y＝f(x)交切D．存在唯一的直线，与曲线y＝f(x)单切且交切答案：AC解析：令y＝x3－3x，则y′＝3x2－3，令y′＝3x