高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4.doc

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基学习目标 1掌握向量数乘运算的概念.2能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3掌握向量的共线定理及应用.学习重点 平面向量数乘运算法则的应用.学习难点 平面向量数乘运算法则的应用自主学习 1向量的数乘运算的概念(1)定义：实数与向量a的积是一个_.(2)运算律： = = = 特别地， ( )= ( )， .2共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_.预习评价 1在四边形abcd中，若 ，则此四边形是a.平行四边形 b.菱形 c.梯形 d.矩形2设 ， 是两个不共线的向量，若向量m= + k (kr)与向量n= 2 共线，则a.k=0 b.k=1 c.k=2 d. 3若向量 ，a满足2 -3( -2a)=0,则向量 =_.4向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与 的关系_.(共线，不共线)5 =_.知识拓展 探究案合作探究 1向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？2所得向量a的几何意义是什么？3向量 的大小与方向如何？4共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量a与向量b(b0)共线，则a=b，如何确定的值？(2)定理中为何要限制a0？5若向量a，b不共线，且a=b，则，的值如何？为什么？教师点拨 1对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与的正负有关.(2)当=0时，a=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示向量的数乘运算及理解 已知向量a，b满足：|a|3，b5，且ab，则实数a.35b.53c.35d.53变式训练 设a是非零向量,是非零实数,则下列结论中正确的是 ()a.a与a的方向相同b.a与-a的方向相反c.a与2a的方向相同d.|a|=|a|交流展示共线向量定理及其应用 已知向量ab=a+3b，bc=5a+3b，cd=-3a+3b，则a.a、b、c三点共线b.a、b、d三点共线c.a、c、d三点共线d.b、c、d三点共线变式训练 在abcd中，点m是ab的中点，点n在bd上，且bn=13bd，求证：m，n，c三点共线交流展示向量线性运算的应用 下列各式计算正确的个数是 ()(-7)6a=-42a;a-2b+2(a+b)=3a;a+b-(a+b)=0.a.0个b.1个c.2个d.3个变式训练 1312(2a+8b)-(4a-2b)=a.2ab b.2bac.ba d.ab学习小结 1向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解.2由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测 1化简下列各式:(1)-oa+ob-oc-co;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2已知向量a,b不共线,若向量a+b与b+a的方向相反,则实数的值为.3已知关于x的方程有3(a+x)=x，则xa.32ab.-32ac.23ad.无解4在平行四边形abcd中，ab=e1，ac=e2，nc=14ac，bm=12mc，则mn=_(用e1,e2表示).5已知非零向量e1，e2，a，b满足a=2e1-e2，b=ke1+e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值.(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线?若存在，求出k的值，否则说明理由知识拓展 已知两个向量e1,e2不共线.如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数,使得向量d=a+b与c共线?32.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案课前预习 预习案【自主学习】1(1)向量 a，a，相同 相反 0(2)()a aaab a a ab2ba【预习评价】1c2d36a4共线52ba知识拓展 探究案【合作探究】1(1)实数与向量a数乘，得到向量a，其方向由的正负及向量a的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2是把向量a沿a的方向放大(1)或缩小(01)到原来的倍或沿a的相反方向放大(1)或缩小(10时,a与a的方向相同,a与-a的方向相反,且|a|=|a|.因为20,所以a与2a的方向相同.【交流展示共线向量定理及其应用】b【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用bd=bc+cd=2a+6b=2ab，由于bd与ab有公共点，因此、三点共线，故答案为b.【变式训练】证明：mn=bn-bm因为bm=12ba，bn=13bd=13(ba+bc)，所以mn=13ba+13bc-12ba=13bc-16ba由于mc=bc-bm=bc-12ba，可知mc=3mn，即mc/mn又因为mc、mn有公共点m，所以m、n、c三点共线【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线【交流展示向量线性运算的应用】c【解析】根据数乘向量的运算律可验证正确;错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】b【当堂检测】1(1)原式=(ob-oa)-(oc+co)=ab-0=ab.(2)原式=2a+4b+9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据a+b与b+a的方向相反得到恒等式,进而得到关于的方程,从而得出的值.由a+b与b+a的方向相反得,a+b=-k(b+a),k0,则=-k,-k=1,即2=1,又k0,所以=-1,此时a+b与b+a的方向相反.3b【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得a+x=13x，则x=-32a.4-23e1+512e25（1）由a=b，得2e1-e2=ke1+ke2，而e1与e2不共线，所以.（2）不存在.若e1与e2共线，则e2=e1，有a=(2-)e1,b=(k+)e1,因为e1,e2,a,b为非零向量，所以且，所以12-a=1k+b，即a=2-k+b，这时a与b共线，所以不存在实数满足题意.【知识拓展】显然c0,否则4e1-7e2=0,即e1