高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B版选修2-2.doc

高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教b版选修2-2探究一 用反证法证明否定性命题所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是”、“不存在”、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明【典型例题1】 (1)若数列an的通项公式为an(nn)，求证an中任意连续的三项都不可能构成等差数列(2)已知a是整数，且a22a是奇数，求证：a不是偶数思路分析：两个命题均是否定性命题，可用反证法证明证明：(1)假设an中存在连续的三项构成等差数列设这连续三项为ak，ak1，ak2(kn)，则2ak1akak2，即，所以.所以2k24k2k24k2，即02，这显然是矛盾的因此假设不成立，即an中任意连续三项不可能构成等差数列(2)假设a是偶数，不妨设a2k(kz)，于是a22a(2k)222k4k24k4(k2k)，由于kz，所以k2kz.因此4(k2k)是偶数，即a22a是偶数这与已知a22a是奇数相矛盾，故假设不成立，即a不是偶数探究二 用反证法证明唯一性命题1结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了2用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的3证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性【典型例题2】 (1)求证：经过平面外一点m，只能作一条直线与该平面垂直(2)若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点思路分析：对于(1)可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2)，应先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再用反证法证明零点唯一证明：(1)假设经过平面外一点m，能作两条直线a，b都与该平面垂直那么由线面垂直的性质可知ab，且a，b在同一平面内，这与a，b相交(均过点m)矛盾，因此假设不成立，即经过平面外一点m，只能作一条直线与该平面垂直(2)由于f(x)在a，b上的图象连续不断开，且f(a)0，f(b)0，即f(a)f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，m(a，b)，则f(m)0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，则f(n)0，且nm.若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点探究三 用反证法证明至少、至多命题1当命题出现“至多”“至少”等词语时，适合用反证法2常见的“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个【典型例题3】 已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于.思路分析：本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明证明：方法1：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a.a，b，c都是小于1的正数，.又，与上式矛盾假设不成立，即原命题成立方法2：假设三式同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a2.同理，(1b)b，(1c)c.以上三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，这与(1a)a(1b)b(1c)c矛盾，故结论得证探究四 易错辨析易错点：运用反证法，结论否定不当而出错【典型例题4】 用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设_错解：a，b不都是偶数错因分析：a，b不都是偶数包括的情况有：(1)a是偶数，b是奇数；(2)a是奇数；b