高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列自主训练 新人教B版必修5.doc

2.2 等差数列自主广场我夯基 我达标1.已知数列an的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列( )a.是公差为2的等差数列 b.是公差为3的等差数列c.是公差为5的等差数列 d.不是等差数列思路解析:已知a1=7,an-an-1=2(n2),故这是一个以2为公差的等差数列.也可根据等差数列通项公式an=dn+(a1-d)知d=2.答案:a2.在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )a.40 b.42 c.43 d.45思路解析:在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,d=3.a5=14.则a4+a5+a6=3a5=42.答案:b3.设sn是等差数列an的前n项和,若s7=35,则a4等于( )a.8 b.7 c.6 d.5思路解析:s7=7a4=35,a4=5.答案:d4.已知等差数列an中,a2=7,a4=15,则前10项的和s10等于( )a.100 b.210 c.380 d.400思路解析:d=4,a1=3,所以s10=210.答案:b5.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )a.130 b.170 c.210 d.260思路解析:令m=1,则sm=s1=a1=30,s2m=s2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,故s3m=s3=s2+a3=100+110=210.注:也可以用sm,s2m-sm,s3m-s2m成等差数列求解.答案:c6.在各项均不为零的等差数列an中,若an+1-an2+an-1=0(n2),则s2n-1-4n等于( )a.-2 b.0 c.1 d.2思路解析:设公差为d,则an+1=an+d,an-1=an-d,由an+1-an2+an-1=0(n2),得2an-an2=0,解得an=2(零解舍去),故s2n-1-4n=2(2n-1)-4n=-2.答案:a7.设sn为等差数列an的前n项和,s4=14,s10-s7=30,则s9=_.思路解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意,得4a1+=14,10a1+-7a1+=30,联立解得a1=2,d=1,所以s9=92+1=54.答案:548.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)(4n+27),则它们的第11项之比为_.思路解析:方法一:设数列an的前n项和为sn,数列bn的前n项和为tn,则a11=,b11=,.方法二:等差数列前n项和是关于n的二次函数,则可设sn=(7n+1)nk,tn=(4n+27)nk,由an=sn-sn-1=k(14n-6),得a11=148k,n2.bn=tn-tn-1=k(8n+23),得b11=111k.答案:我综合 我发展9.设数列an、bn、cn满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,).求证:an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且bnbn+1(n=1,2,3,).证明:必要性:设an是公差为d1的等差数列,则bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0.bnbn+1(n=1,2,3,)成立.又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,),数列cn为等差数列.充分性:设数列cn是公差为d2的等差数列,且bnbn+1(n=1,2,3,),cn=an+2an+1+3an+2, cn+2=an+2+2an+3+3an+4. -,得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2,bn+2bn+1+3bn+2=-2d2. 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2. -,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0. bn+1-bn0,bn+2-bn+10,bn+3-bn+20,由得bn+1-bn=0(n=1,2,3,).由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,),则an-an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3. 从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3, -,得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3.因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1,2,3,).数列an为等差数列.10.某地区1997年年底沙漠面积为9105 hm2.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测,并在每年底将观测结果记录如下表:观测年份该地区沙漠面积比原有面积增加数/hm219982 00019994 00020006 00120017 999200210 001请根据上表所给的信息进行预测.(1)如果不采取任何措施,到2010年年底,这个地区的沙漠面积将大约变成多少?(2)如果从2003年年初开始,采取植树造林等措施,每年改造8 000 hm2沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将小于8105 hm2?思路分析:从增加数看,数字稳定在2 000附近,所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数,当然也可用其他年份的增加数为首项.列出经过n年后的沙漠面积,再根据已知列出不等式.解:(1)从表中的数据看,该地区每年沙漠面积比原有面积的增加数是一个等差数列,公差约为d=2 000,a2 010=a2 002+8d=10 001+2 00080.26105 hm2,再加上原有的沙化面积9105 hm2,到2010年年底,该地区的沙漠面积大